排队是我们在日常活动中不断遇到的现代生活的一个方面。在需要访问共享资源以服务大量工作或客户的超市柜台，地铁，银行等中，会出现排队现象。
队列研究很重要，因为它既为我们可以从给定资源中期望的服务类型提供了理论基础，又为可以为客户提供一定程度的服务的方式进行了设计。
由于前述原因，认为能够给出关于特定队列模型的特征的答案的工具的开发非常有用。
初始定义
在排队理论是排队等待的行为的数学研究。当“客户端”到达要求“服务器”提供服务的“地点”时，就会发生这种情况，这具有一定的关注范围。如果服务器不是立即可用，并且客户端决定等待，则形成等待线。
一个队列是一个在线等待和排队理论是描述特定的等待线系统或排队系统数学模型的集合。这些模型用于在给定系统的系统成本和平均等待时间之间找到一个很好的折衷方案。
在排队系统是提供服务的系统模型。作为模型，它们可以代表工作或客户到达以寻求某种服务并在该服务得到参与后离开的任何系统。我们可以将这种类型的系统建模为简单队列或构成队列网络的互连队列系统。在下图中，我们可以看到一个简单队列模型的示例。此模型可用于表示以下典型情况：客户端到达，等待服务器繁忙，由可用服务器提供服务，以及在获得所需服务时离开。
问题在于确定哪种容量或服务速率提供正确的平衡。这是不容易的，因为客户端没有在固定的时间到达，也就是说，不清楚客户端何时会到达。而且服务时间没有固定的时间表。
“队列”问题一直存在于日常生活中：在美国进行的一项研究得出的结论是，平均而言，一个普通公民平均要在不同的队列中等待5年，而其中的近6个月都是在红绿灯旁等待。
排队论导论
在现实生活中的许多情况下，一个非常普遍的现象是队列或排队的形成。当对服务的实际需求超出提供该服务的能力时，通常会发生这种情况。这种情况的真实例子是：两条道路的交叉口，交通信号灯，高速公路通行费，自动柜员机，商业机构中的客户服务，电器故障或必须维修的其他类型的设备。通过技术服务等
如果可能的话，在信息技术，电信以及一般而言新技术的情况下，等待情况甚至更加频繁。因此，例如，发送到服务器以供执行的进程在未排队时形成等待队列，由于网络或服务器本身的拥塞，可以通过Internet延迟地从Web服务器接收从Web服务器请求的信息。换句话说，如果移动电话所依赖的控制单元在那一刻崩溃，我们可以从忙线中接收信号。
起源：
排队理论的起源是在1909年，Agner Kraup Erlang（丹麦，1878年至1929年）努力分析电话流量的拥塞情况，旨在满足哥本哈根电话系统中不确定的服务需求。他的研究导致了一种称为排队或排队理论的新理论。该理论现在是一种有价值的商业工具，因为许多问题都可以被表征为到达-出发点拥堵问题。
排队模型。
在排队问题中，经常会说到客户，例如等待电话线腾空，等待修理机器的人，以及等待着陆和服务站的飞机，例如餐馆的桌子。 ，维修店的操作员，机场的跑道等。排队问题通常包含需要某种服务类型的客户到达率的可变性，以及在服务站的服务交付率的可变性。
在谈论排队时，它们指的是客户或服务站创建的排队。客户可能只是因为现有设施不足以满足服务需求而排队等候；在这种情况下，队列趋向于爆炸性，即随着时间的流逝越来越长。服务站可能正在等待，因为现有设施相对于客户需求而言过多；在这种情况下，服务站可能大部分时间保持空闲状态。即使服务设施足够，客户也可能会暂时等待，因为正在为以前到达的客户提供服务。加油站可能会在以下情况下临时出现：尽管长期来看设施足够，但由于临时事件偶尔会导致需求不足。这最后两种情况代表了不断趋于平衡的稳定状态或稳定状态。
在排队理论中，一组物理单元以一种可以与一系列有组织的操作一致地操作的方式集成在一起，通常称为系统。排队理论首先通过预测系统的行为来寻求等待问题的解决方案。但是，解决等待问题的方法不仅是最大程度地减少客户在系统中花费的时间，而且还可以最大程度地减少请求服务的人和提供服务的人的总成本。
排队理论包括对排队或排队的数学研究，并提供了大量数学模型来描述它们。
必须在服务成本和与等待该服务相关的成本之间实现经济平衡
排队论本身并不能解决这个问题，它只是为决策提供信息
排队论的目的
排队理论的目标包括：
- 确定使系统总成本最小化的最佳系统容量级别，评估可能的替代方案来修改系统容量对系统总成本的影响。在考虑之间建立平衡（“最佳”）平衡定量成本和定性服务我们必须注意在系统或队列中花费的时间：客户的“耐心”取决于所考虑的特定服务的类型，并且可以使客户“放弃”系统。
队列模型中的现有元素
入境来源或潜在人群：可以请求有关服务的一群人（不一定是生物）。我们可以认为它是有限的或无限的。尽管无穷大的情况是不现实的，但它确实允许（很奇怪）解决许多情况，其中实际上人口是有限的，但非常大。当无限量的假设（即使潜在人口是有限的）的元素数量如此之大，以致已经在请求上述服务的个人数量实际上不会影响潜在人口产生新请求的频率时，这种无穷假设是不受限制的。服务。
客户： 它是来自潜在人口请求服务的每个人。假设连续客户的到达时间为0 <t 1 <t 2 <…，了解进入源生成客户所依据的概率模式就很重要。最常见的是将两个连续客户到达之间的时间作为参考：连续：连续客户：T {k} = tk-t k-1，设置其概率分布。通常，当潜在人口为无限时，假设T k的概率分布（即到达之间的时间的所谓分布）不取决于等待完成服务的客户数量，而在如果输入源是有限的，T k的分布将根据服务过程中客户的数量而变化。
队列容量：这是可以排队的最大客户端数量（开始提供服务之前）。同样，可以假定它是有限的或无限的。为了简化计算，最简单的事情是假设它是无限的。尽管很明显，在大多数实际情况下，队列的容量是有限的，但是如果客户端由于队列中已达到该限制数而无法进入队列的可能性很小，则假定队列为无限并不是很大的限制。 。
队列规则：这是选择服务客户的方式。最常见的学科是：
FIFO（先进先出）原则，也称为FCFS（先到先得）：根据该原则，首先到达的客户将得到优先服务。
LIFO（后进先出）学科，也称为LCFS（后进先出）或堆栈：这包括先服务后到的客户。
RSS（服务的随机选择）或SIRO（服务的随机顺序），可随机选择客户。
服务机制：这是向请求服务的客户提供服务的过程。要完全确定服务机制，我们必须知道所述机制的服务器数量（如果所述数量是随机的，则为概率分布），以及每个服务器提供服务所花费时间的概率分布。如果服务器提供服务的技能不同，则必须为每个服务器指定服务时间的分配。
正确地说，队列是等待的客户端的集合，即已经请求服务但尚未传递到服务机制的客户端。
队列系统：它是由队列和服务机制以及队列的纪律组成的集合，它指示从队列中选择哪个客户端选择服务机制的标准。下图中可以更清楚地看到这些元素：
排队系统模型必须指定每个服务器的服务时间的概率分布。
服务时间最常用的分布是指数l，尽管通常会找到退化或确定性分布（恒定服务时间）或Erlang（Gamma）分布。
肯德尔的记法
按照惯例，将排队理论中使用的模型标记为
使用的分布是：
- M：指数分布（马尔可夫）D：退化分布（恒定时间）E k：Erlang分布G：一般分布
M / M / s ：到达和服务时间之间的时间呈指数关系并且有s个服务器的模型。
M / G / 1：到达时间，一般服务时间和仅一台服务器之间的指数时间
术语
通常，通常使用以下标准术语：
- 系统状态：系统中的客户端数。队列长度：等待服务的客户端数。N（t）：到时间t（t³0）的排队系统中的客户端数。P n（t）：给定时间零的数量，在时间t恰好n个客户在系统中的概率。s：队列系统中的服务器数。ln：当系统中有n个客户时，新客户的平均到达率（每单位时间的预期到达次数）。m n： 当系统中有n个客户端时，整个系统的平均服务费率（预计每单位时间完成其服务的客户端数）。
注意： mn表示所有繁忙的服务器设法终止其服务的合并速率
ln ：当ln对于所有n都是常数时
m n ：当mn对所有n³1恒定时
也可以解释为被照顾的平均人数
注意：对于将要分析的排队系统，我们将假设系统处于稳定状态。
示范
对于s = 1
r：个别服务器繁忙的预期时间百分比）。
l = 12 /小时®1 / l = 5分钟
m = 15 /小时®1 / m = 4分钟
服务器每5分钟工作4次，即80％的时间在工作
r ：平均服务人数
平均数= 0 * P0 + 1 * P1
平均数= P1
平均数量= 1 / m / 1 / l
平均数= r
以下符号假定处于稳态状态：
- P n：系统中正好有n个客户端的概率L：系统中的预期客户端数。L q：预期的队列长度（不包括正在使用的客户端）。W ：每个客户端在系统中的等待时间W： E（W）W q ：每个客户端在队列中的等待时间。W q ： E（W q）
L，W，Lq和Wq之间的关系
假设l n是所有n 的常数l：
L = l W Lq = l Wq
假设所有n³1的平均服务时间为常数1 / m
W = Wq +1 / m L = Lq + r
这些关系之所以是基本的，是因为它们使我们能够在分析出其中一个的值后立即确定四个基本量L，W，Lq，Wq。
主要特点。
到达之间有两种基本时间：
确定性的，即连续的客户在相同的时间间隔内到达的时间既固定又已知。一个典型的例子是装配线，其中物品以固定的时间间隔（称为时间周期）到达工位。
概率，其中连续到达之间的时间不确定且可变。到达之间的概率时间由概率分布描述。
在概率情况下，确定实际分布通常很困难。但是，已证明一种分布，即指数分布，在许多实际问题中都是可靠的。对于指数分布，密度函数取决于参数，例如l（希腊字母lambda），并由下式给出：
f（t）=（1 / l）e- l t
其中l（lambda）是单位时间内的平均到达次数。
在时间为T的情况下，密度函数可用于计算下一个客户将在上一次到达的以下T单位内到达的概率，如下所示：
P（到达之间的时间<= T）= 1-e- l t
服务过程。
服务流程定义了如何为客户提供服务。在某些情况下，系统中可能有多个提供所需服务的站点。银行和超级市场再次是上述例子。每个窗口和每个寄存器都是提供相同服务的站。这样的结构被称为多通道排队系统。在这样的系统中，从服务器提供相同类型的服务的速度来看，服务器可能是相同的，也可能是不同的。例如，如果银行中的所有柜员都具有相同的经验，则可以认为他们是相同的。
与多渠道系统相反，请考虑使用工作站提供所需服务的生产过程。所有产品必须通过该工作站。在这种情况下，它是一个单通道排队系统。重要的是要注意，即使在单通道系统中，也可能有许多服务器一起执行必要的任务。例如，一家单站洗车公司可能有两名员工同时在洗车。
服务过程的另一个特征是在一个站点中同时服务的客户数量。在银行和超市（单渠道系统）中，一次仅服务一名客户。相反，根据到达的公交车的容量，在公交车站等候的乘客可以成组地服务。
服务进程的另一个特征是是否允许优先级，即服务器是否可以与正在服务的客户端一起停止该进程，以产生刚刚到达的客户端？例如，在急诊室中，当正在治疗非严重病例的医生被要求参加一个更严重的病例时，优先级就会提高。无论服务过程如何，您都需要了解完成服务需要多长时间。此金额很重要，因为服务持续的时间越长，到达客户的等待时间就越长。与到达过程一样，该时间可以是确定性的或概率性的。有了确定的服务时间，每个客户需要的服务时间完全相同。凭借概率性的服务时间，每个客户都需要不同且不确定的服务时间。概率服务时间由概率分布数学描述。实际上，很难确定什么是真正的分布，但是在许多应用中已证明可靠的分布是指数分布，在这种情况下，其密度函数取决于一个参数，例如（希腊字母my）并由实际上，很难确定什么是真正的分布，但是在许多应用中已证明可靠的分布是指数分布，在这种情况下，其密度函数取决于一个参数，例如（希腊字母my）并由实际上，很难确定什么是真正的分布，但是在许多应用中已证明可靠的分布是指数分布，在这种情况下，其密度函数取决于一个参数，例如（希腊字母my）并由
s（t）=（1 / m）e - m t
其中：
m =每单位时间服务的平均客户数量，
以便：
1 / m =服务客户的平均时间
通常，服务时间可以遵循任何分布，但是在分析系统之前，需要确定分布。
评估排队系统的性能指标
排队理论的最终目标是回答与排队系统的设计和操作有关的管理问题。银行经理可能想要决定在午餐时间安排三到四个收银员。在生产结构中，经理可能希望评估购买可以更快处理产品的新机器的影响。
任何排队系统都经历两个基本阶段。例如，当银行在早上营业时，系统中没有人，因此第一位客户将立即得到服务。随着更多客户的到来，队列逐渐形成，等待的时间开始增加。随着一天的发展，系统达到了一种状态，可以消除最初客户短缺的影响，每个客户的等待时间已经达到相当稳定的水平。
一些常见的绩效指标
有许多不同的性能指标可用于评估稳态排队系统。在设计和操作排队系统时，管理员通常关心客户获得的服务水平以及公司服务设施的正确使用。提出以下一些评估绩效的措施：
与时间相关的，以客户为中心的问题，例如：
- 新客户平均需要等待多少时间才能获得服务？相关的性能指标是平均等待时间，用Wq表示。客户在整个系统上花费的时间是多少，包括等待时间和服务时间？相关的性能指标是系统中的平均时间，用W表示
与客户数量有关的定量问题，例如：
- 平均而言，有多少客户正在排队等候服务？相关的性能度量是队列的平均长度，由Lq表示。系统中的平均客户端数是多少？相关的性能指标是系统中的平均值，用L表示
涉及客户端和服务器的概率问题，例如：
- 客户必须等待服务的概率是多少？相关的性能度量是阻塞概率，用pw表示。在任何特定时间，服务器繁忙的概率是多少？与此相关的性能指标是利用率，用U表示。通过计算系统中没有客户的概率Po，系统中有客户的概率Pi等来获得相关的性能度量。这导致状态概率分布，由Pn表示，n = 0.1……如果等待空间是有限的，队列已满并且没有为到达的客户提供服务的概率是多少？相关的绩效指标是拒绝服务的概率，以Pd表示
与费用有关的问题，例如：
- 操作系统每单位时间的成本是多少？为了提高成本效益，需要多少个工作站？
这些性能指标的具体计算取决于排队系统的类别。其中一些措施是相互关联的。知道度量的价值可以让您找到相关度量的价值。
绩效指标之间的关系
许多性能度量的计算取决于特定排队系统的到达和服务过程。这些过程通过到达和服务分布进行数学描述。即使不知道具体的分布，也可以仅通过使用到达和服务过程的以下参数来获得某些排队系统的某些性能度量之间的关系。
l =每单位时间的平均到达次数
m =一个部分中每单位时间服务的平均客户数
假设无限的客户人数和有限的排队等候空间。客户在系统中花费的总时间是在队列中投入的时间加上其参与的时间：
系统平均时间=等待时间+服务时间
系统中的平均时间和平均等待时间分别由数量W和Wq表示。平均服务时间可以用&参数表示。例如，如果&是每小时4个客户端，那么平均每个客户端需要1/4的服务。通常，服务时间为1 /&，这导致我们具有以下关系：
W = Wq +1 /米
现在让我们考虑系统中平均客户数与每个客户在系统中花费的平均时间之间的关系。假设有一个客户刚到，并且预计将平均留在系统中半个小时。在这半小时内，其他客户的价格一直保持稳定，例如每小时十二点？当有问题的客户离开系统时，半小时后，他平均留下（1/2）* 12 = 6个新客户。
也就是说，在任何给定时间，系统中平均有六个客户端。所以：
客户的平均时间=到达数量X *系统中的平均时间。
以便：
L = l * W
使用类似的逻辑，可以获得队列中等待的平均客户数量与排队的平均等待时间之间的关系：
平均客户时间=到达数量X队列中的时间单位
以便：
Lq = l * Wq
结论
排队理论是对排队或排队的数学研究。当然，排队是一种普遍现象，每当对服务的有效需求超过有效供给时就会发生。
企业通常必须决定应准备提供的服务量。但是，很多时候无法准确预测需要该服务的客户何时到达和/或提供该服务需要多长时间；这就是为什么这些决策涉及到两难问题，而这些问题必须用很少的信息来解决。准备随时提供我们要求的任何服务可能意味着维护闲置资源和过多成本。但是，另一方面，缺乏足够的服务容量会导致某些时候的队列过长。当客户不得不排队等候接受我们的服务时，他们按时支付的费用比他们预期的要高。因此，漫长的排队等待对公司而言也很昂贵，因为它们会导致声誉下降和客户流失。
队列理论本身并不能直接解决问题，但可以通过预测有关等待线的一些特征（形成概率，平均等待时间）来提供做出相关决策所需的重要信息。
但是，如果我们在公司的组织中使用“内部客户”的概念，并将其与队列理论相关联，我们将采用“及时”的业务组织模型，在该模型中，我们试图将与组织相关的成本最小化。生产链中的资源闲置。
参考书目
- 缅因州Arbonas，工业优化（I）：资源分配。《产品信息集》第26期。Marcombo SA，1989.Arbonas，ME工业优化（II）：资源编程。产品集第29期。MarcomboSA，1989年。Moskowitz，H。和赖特GP运营研究。Prentice_Hall Hispanoamericana SA，1991年，布法，E：运营管理：问题与模型。革命版，哈瓦那，1968年。
