本报告的主要目的是基于通过编程使风险价值（VaR）最小化，实现一种算法和开发软件，以补充当今用于制定投资决策的方法。线性，当使用条件风险值（CVaR）作为优化风险度量单位时，这是可行的。
为此，有人提出了作为特定目标的建议，即获取和处理用于决策的相关财务信息，包括分析收益，风险和选定行动的相关性，以及研究标准和执行情况。股票价格建模标准的说明。
关于价格预测，采用了诸如维纳过程（Wiener process）（众所周知的布朗运动），蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和矩阵过程（例如霍尔斯基因式分解）之类的技术来获得相关收益，其方式与它们在市场中的相关性相同。过去，在股票波动建模存在的限制和困难内，产生的结果与实际情况更加一致。
最后，在这项工作中，实现了由Uryasev和Rockafellar开发的优化算法，其方法尚未在全国市场上广泛使用。该算法基于最小化VaR得出最优的投资组合，从而以一定的置信度和预先设定的时间范围来量化投资组合的最大预期损失。
第一章引言
1.1投资组合风险的一般方面
近年来，金融机构在风险管理领域进行了大量调查，以期获得有效管理所承受风险的措施。
影响实体的财务风险与前几年受到影响的财务风险相同，但是，随着时间的推移，已存在衡量这些风险的技术，目前，我们将VaR置于概念中（风险价值或风险价值），它估计具有概率基础的投资组合的风险。
风险被理解为存在某种损失的可能性，其中损失将获得比预期低的回报。这样，由于收益所经历的可变性，财务风险反映在预期资产的经济价值损失中，因此投资组合的经济价值受到不同风险因素的影响，例如：利率利率，汇率，股价等。
这样，识别，衡量和管理您面临的财务风险至关重要。一些最常见的金融风险如下所示：
a）利率风险。这又由不同的风险组成（有关更多详细信息，建议查看）。
a.1）市场风险：是由于利率变动而导致资产市值出现资本损失的一种。在汇率变动的情况下，资产价格的涨跌幅度将取决于资产的特征。
a.2）再投资风险：当资产本身或其现金流量的再投资必须以低于预期的比率进行时，就会发生这种情况。
a.3）波动性风险：指那些具有某些购入期权且其价格除利率水平外还取决于可能影响所购入期权价值的因素（例如波动性）的资产利率。波动率风险或“波动率风险”是波动率变化的衍生产品，会对债券价格产生负面影响。
b）信用风险（也称为破产风险）是由于发行人无法履行义务而产生的。在这种类型中，我们发现主权风险是指国家不履行义务的情况。
c）流动性风险：表示无法拥有必要的现金流量来满足短期债务，或者缺乏足够的营运资金。也可以理解为无法以其原始价格出售资产。
d）法律风险：指可能直接或间接影响公司业绩的所有监管方面。在这些之中，我们发现了税收风险，这是由于某些税收优惠由于这些法律风险而消失的可能性所产生的。
最初，风险模型旨在衡量金融机构投资组合的风险。这些机构受到减少监管机构强加资本要求的激励，已成为风险管理方法框架的主要推动者。
拥有能够评估投资组合的市场风险的系统的能力一直是机构投资者的需求。这就是为什么评估和管理投资组合所面临的波动性的工具随时间而兴旺的原因。
因此，在1970年代，差距分析用于衡量利率风险的敞口，利率风险是由不同到期阶段的资产和负债之间的差异确定的。
在80年代，期限（固定收入）开始用作衡量利率风险敞口的工具。它测量利率变化所导致的工具的敏感性或价格弹性，也就是说，如果利率上升百分之几，将会损失多少。考虑到每种资产的特定到期日和息票，此措施比以前的措施要好一些。另一方面，贝塔系数（权益）衡量一种金融工具对整个市场变化的敏感性，以指数表示。
1.2风险价值（VaR）
在一个创新的框架中，美国银行摩根大通（JP Morgan）在90年代传播了一种方法，该方法由“风险价值”或“风险价值”（VaR）模型组成，该模型可估计具有概率基础的投资组合的风险。
这种“ RiskMetrics” 1方法在1995年披露，引发了风险管理的一场革命，被著名的风险价值（VaR）取代，近年来，有条件的风险价值或“风险价值”有条件的”（CVaR）。
自1995年巴塞尔委员会宣布建立金融机构的资本储备时，必须以VaR方法为基础。目前，已经出现了对可用于金融机构的各种方法的各种研究和分析。
简而言之，VaR是需要以一定的置信度来量化投资组合在一定时期内将面临的亏损金额或百分比。换句话说，它是在正常市场条件下，在一定风险水平下给定时间范围内的最大预期损失的度量。更具体地说，VaR代表损益分布的分位数，通常选择为分布的95％或99％。
VaR的理念是衡量收益与风险之间的关系以形成有效的投资组合，这是Markowitz和Sharpe提出的。
根据Garman和Blanco的说法，投资组合的VaR是在特定时间范围内和特定置信度下的最低预期损失，以特定参考货币计量。
通常，使用最广泛的假设是正态性，这使得可以使用众所周知的高斯钟形表示所有观测值并应用其统计特性。
因此，如果我们要确定投资组合的风险价值，那么对于一天的时间范围并要求5％的显着性水平，这意味着只有5％的时间，即20倍的时间之一（即每月一次（包含每日数据）或每5个月（包含每周数据），投资组合的回报将比VaR所显示的下降幅度更大。
必须将投资组合回报率的标准差乘以1,645倍（使用95％置信度）。
（公式1.1）
其中：
非负权重的矢量加起来为1。
n个资产的收益的方差和协方差矩阵。
非负权重的矢量加上一个转置。
图1.1风险价值的图形表示
来源：
鉴于上述情况，摩根大通银行开始使用VaR方法计算每天在接下来的24小时内可能发生的最大可能损失。
由于VaR的普及，在智利，证券和保险监督（SVS）将该指标作为银行监管的风险衡量标准，由保险公司和投资基金管理公司（AFP）合并为该指标。作为制度法规的一部分。
例如，如果某投资组合的VaR一天的总价值为3,518,033.25比索，置信区间为95％，这并不意味着3,518,033.25比索的价值必定会损失，但这意味着在损失的情况下，从今天到明天可能发生的最大损失（概率为0.95）为3,518,033.25比索。这样，可以调整必要的资本。
1.3 VaR估算方法。
基本上，可以使用两种方法来计算VaR：
a）参数方法。假设收益是正态分布的，它通过使用风险顶点的波动性，相关性等参数来估算VaR。
b）非参数或模拟方法，可细分为：
b.1）历史模拟。基于历史资产价格回报。
一般而言，此方法试图量化通过维持当前投资组合而在过去获得的假设回报。也就是说，它包括将当前投资权重的向量应用于代表性的历史收益系列，以生成可以由直方图表示的一系列历史投资组合值，从而能够定义一定的概率分布。
该方法的优点之一是，它无需对工具的相关性做任何假设。它也没有明确地假设工具价格的概率分布形状。另一方面，如果历史样本具有这样的特征，则可以依靠历史信息来估计未来的损失，它可以包含“宽尾巴”，“不对称性”（有关更多详细信息，请参见：。
在缺点中，我们发现需要具有该系列仪器中大量的历史信息，因为否则我们将获得不可靠的计算
b.2）蒙特卡洛模拟。基于使用随机数的收益模拟，
该技术包括根据变量的分布函数生成未来方案。因此，它允许我们基于它们的分布函数来模拟不同风险顶点的收益所采用的值的所有可能情况。为此，有必要假设情景将遵循某种特定的分布，无论是正常分布，t型学生还是其他分布，并以此方式能够通过某些变量生成器算法或某些随机过程生成收益。
例如，我们可以假设该系列是按照维纳随机过程分布的。 （有关该过程的更多详细信息，请参见索引2.5）
（方程1.2）
其中：
：对应于时间间隔内的股票回报（P是股票的价格）。
：这是收益的期望值。
：这是收益的随机成分，代表标准差。
：这是一个具有正态分布（0,1）的随机变量。
在此方法的优点中，它是迄今为止计算VaR的最强大的方法。您可以指望广泛的风险敞口，包括非线性价格风险，波动性风险，甚至模型风险。它具有足够的灵活性，可以将时间变化纳入波动率，发尾现象和极端情况。这些模拟可用于检查例如特定VaR的预期损失。
作为缺点，我们发现需要强大的计算机支持。例如，如果由1000个资产的投资组合生成了1000个样本跟踪，则估值总数将为1,000,000。
鉴于以上所述，它具有实时估值的困难，并且需要预先建立资产价格行为模型。同样，尽管该方法在尝试生成投资组合所持证券的整个概率分布时应该更为准确，但它仍然依赖于历史收益来确定波动率和相关性。
1.4条件风险价值（CVaR）
VaR作为一种风险度量，在损失没有“正态分布”的情况下是不稳定的，很难用数字计算出来，这在实际中是最常见的情况，因为分布往往有“宽尾巴”。因此，只有当它基于资产收益的正态分布的标准偏差时才显示出一致性，因为在正态分布下，VaR与工具收益率的标准偏差成正比。
另一方面，VaR具有不良的数学特征，例如缺乏亚可加性和凸性，有关更多详细信息，请参见。
这样，当收益不呈正态分布时，次可加性的缺乏会导致与结合了两种工具的投资组合相关的VaR大于各个投资组合的VaR风险之和。
VaR函数，我们将用以下公式定义：损耗分配函数的百分位数由以下公式定义：
（公式1.3）
其中，是损失函数产生的分布函数，x是投资组合中的头寸或权重。
为了理解次可加性的概念，让我们看一下以下情况：让VaR度量与投资组合相关联，那么如果给出了投资组合，我们将说它是次可加的，并且我们有：（
方程1.4）
即两个投资组合的组合多样化的结果是“不要把所有鸡蛋都放在同一个篮子里”，从而降低风险。
但是，VaR无法满足此要求，并且由于VaR的不良行为是一种风险措施，它将导致我们细分投资或投资组合以降低风险。强烈反对多元化理论。
另一方面，由于不满足凸性，因此最小化VaR并不能确保我们获得了使目标函数（损失）最小化的最优投资组合，因为它可能有多个局部极端。
最后，VaR的一个非常重要的缺陷是，它无法提供超出其度量值指示的可能遭受的损失幅度的指示，因为它只是为分布的尾部的损失提供了下限。返回。
在这种情况下，出现了一种替代方法，该方法可以量化可能在损失分布尾部发现的损失，称为条件风险值（CVaR），可以用作投资组合优化模型中的工具。投资，在许多方面都具有优于VaR的特性。
在有限的情况下，CVaR与VaR保持一致，在有限的情况下可以计算后者（当损失呈正态分布时），在这种情况下，使用CVaR，VaR或最小Markowitz方差可以产生相同的结果，即它们导致相同的投资组合最佳。此外，在实践中，将VaR最小化会产生接近CVaR最小化的最优投资组合，因为根据定义，根据CVaR计算得出的损失小于或等于通过VaR获得的损失。
对于连续分布，此度量也称为平均超额损失，预期不足或尾部VaR。但是，对于离散分布，CVaR可能不同。根据定义，对于连续分布，α-CVaR是超过α-VaR的预期损失，换言之，它是损失的平均值。当α= 0.99时，CVaR将平均最坏损失的1％以上。通常，对于损失分布函数（包括离散分布），CVaR定义为以超出此度量的损失为条件的VaR的加权平均值。
与VaR不同，CVaR具有非常好的数学特性，可以在更深的范围内看到。
我们的目标是找到最佳组合，使相关风险（VaR）最小，为此，我们将使用Rockafellar和Uryasev开发的出色数学公式，实现优化CVaR的算法，“彭博”的数据”，由AGF提供。将对这些数据进行统计处理，以便获得构成投资组合的不同操作的回报的时间序列，并通过MonteCarlo算法，我们将生成将用于一般CVaR优化问题的方案，将获得要在投资组合的每个份额中进行投资的权重向量，并且其相关风险（VaR）最小。
1.5投资组合历史数据分析。
股份的历史数据将通过“彭博”获得，其中我们将获得T的股份每日数据。对于“良好”的估计，对于将构成投资组合的资产，将视界至少设置为T = 10年是很方便的。重要的是要明确表示，彭博社可以选择下载价格并进行相应调整，以使信息尽可能“真实”。
首先，最好按部门将行动分开：
表1.1按部门分组的智利行动示例
来源：自己制定
最终将构成投资组合的股票必须在不同市场上具有一定程度的多元化，例如：零售（零售），采矿，运输，电力等。简而言之，正如我们前面提到的，多元化是“不要把所有的鸡蛋都放在同一篮子里”，其主要目标是以最小的风险实现最大的盈利，并带来以下好处。
•降低投资组合对严重市场变化的脆弱性。
•降低投资组合的波动性（风险）。
例如，如果您的投资组合包含2个资产：
图1.2投资组合中的股票（资产）多样化示例
资料来源：
在图1.2中，可以清楚地看到，通过适当地分散投资组合，可以降低风险，也就是说，将不相关的资产合并在一起，可以降低风险。
最终可以通过多元化消除的风险是自身风险。自我风险是由于给定公司所面临的许多危险特别是其自身的风险，也可能是其直接竞争对手的风险。
但是，也存在无法避免的风险，即使人们无法消除它的多样化，也被称为市场风险。总之，尽管分散投资有好处，但不能完全消除投资组合的风险，而应将其最小化。
市场风险源于以下事实：存在其他威胁经济的威胁，威胁着所有企业，这就是为什么无论数量多少，投资者都面临诸如通货膨胀之类的市场不确定性的原因投资组合所拥有的不同公司的股票。
图1.1通过增加投资组合中的股份数量实现多元化的示例
来源：自己的阐述
在图1.1中，可以清楚地理解投资组合分散化的影响，其中标准偏差所代表的风险随着资产添加到投资组合而降低。
除了投资组合股票的多样化以外，还应分析以下几点；超越时间，股票市场占有率高，流动性高和市值高，所有这些都为我们提供了丰富的信息，而在分析它们时噪音却很小。
关于公司的流动性，是指在给定时间，公司的流动资源与当时应承担的义务之间存在的关系。
同样，市值是指公司在市场中的价值，并通过将股票价格乘以公司股票数量来定义。
1.6 AGF Cruz del Sur的现状
目前，总基金经理克鲁兹德尔苏尔（Cruz del Sur）使用各种机制来实现“理想”，即以最小的风险获得良好的回报。
例如，将解释AGF今天的运营方式，因为这是一家提供所有财务知识和必要信息的公司。
投资组合管理或金融股权交易者与投资经理一起使用“旧的” Markowitz模型（例如，该理论在各种经济学书籍中得到了广泛解释），该模型基于对“有效边界”；通过绘制风险与获利能力图表获得的曲线，为此，通过选择收益率高但风险高的资产并与收益率低但更“安全”的其他资产组合，使投资组合多样化，即挥发性较小。尽管此策略不是“不好的”策略，但对于自1950年代以来就一直使用的策略而言，它的缺点是无法固定固定比例地投资于每个操作，这是我们将寻求的最优方法，并且我们称之为：“向量投资权重”。
图1.3有效边界示例
来源：自己的阐述
图1.3表示有效边界，其中包含由风险资产组成的投资组合，这些资产主导着其他风险相同但利润较低的资产。
一旦以每种资产的不同投资百分比（它们的总和必须为一个且您拥有100％）形成有效边界，便会针对不同的投资百分比和选择构建收益率与风险图最终的投资组合显然取决于管理者的投资者类型，例如在AGF中，他们的投资风格较为保守，因此选择的投资组合不是那么不稳定。（在图1.5中，经理认为随着风险的增加，投资组合的获利能力也随之增加）
他们提供给有效边界的主要用途是确定要推荐给客户的投资组合，即，以保守，适度和积极的性质定期向客户推荐的不同类型的投资组合。
AGF要解决的问题是改变“旧”模型并使用这种新的投资策略，该策略找到最优的“权重向量”，以最小的VaR（最小风险）投资于组成投资组合的每项资产，并且建立预期的盈利能力。
必须明确的是，这种方法是一种辅助工具，可作为决策者的补充，因为他是具有财务知识的专家。
第二章理论框架
2.1风险价值，理论框架
VaR是一种统一的风险度量，它量化了在指定时间间隔内由于市场因素变化而导致的投资组合潜在价值损失的数量或百分比。对该损失的评估具有一定程度的不确定性（）。
设损失函数，该函数取决于“权重向量x”，属于“随机向量”的y定义的可行性集。假设随机向量y由独立于概率度量P支配。对于每一个，用Ψ（x，·）表示为由损失函数产生的分布函数，即：（
方程2.1）
因此，如果假定随机向量具有概率密度函数，即连续的随机向量，则对于固定点，与该向量关联的损耗的累积分布函数由下
式给出：（方程2.2） ）
公式（2.1）和（2.2）表示损失函数不超过阈值ζ的概率。在这两种情况下，我们将用ζα（x）表示的VaR函数由以下公式定义为损耗分布函数的百分位数：
（式2.3）
将在本报告中研究与VaR相关的优化问题是：（
公式2.4）
集合X代表施加在与投资组合相关的权重或投资策略上的条件。例如，如果对投资组合没有特殊要求，则集合X的计算公式为：（
方程2.5）
但是，如果在投资组合中添加了一定程度的多元化（建议查看更多详细信息），则集合X的定义为：（
方程2.6）
其中代表每个投资组合资产（例如，所有资产）的最大投资权重，这被解释为禁止在单个投资组合资产中拥有全部投资的30％以上。如果我们还要求投资组合的最低回报，则X由以下
公式给出：（方程2.7）
其中R对应于最低要求收益，是在预定时间段内每种资产的预期收益。
最后，重要的是要注意，该报告的目的不是要使用每个预定义资产的权重来计算与投资组合相关的风险，而是要找出构成风险的投资政策或投资组合权重。换句话说，这是最小的，以提供一种有助于确定给定投资组合的每个资产要投资多少的工具。
2.2风险条件价值理论框架
在考虑连续分布的情况下，将CVaR定义为损失超过VaR（由表示）的条件下的预期损失值。定义了CVaR函数，并将其表示为：（
方程2.8）
其中，与概率测度P相关的密度函数在哪里。通常，对于任何类型的分布函数，包括离散分布，CVaR均被定义为VaR的加权平均值和超过其的损失，我们将其表示为即，条件损失的预期严格超过VaR。这样，CVaR定义如下：（
方程式2.9）
使得：（
方程式2.1.0）
因此，在考虑损失函数的连续分布的情况下。
在定义上，CVaR是一种风险的连贯度量，通过百分位数确定，并且与VaR不同，CVaR具有良好的数学属性，可以在文档中更深入地看到。特别是，由（2.8）定义的CVaR是VaR的上限，因为：（
方程2.1.1）
通常，最小化CVaR和VaR是不等效的。由于CVaR定义明确包含了VaR函数，即该函数，因此，工作和优化CVaR变得非常麻烦，但是，如果考虑以下辅助功能：
（公式2.1.2）
另外，它可以写成如下形式：（
方程2.1.3）
在哪里。对于固定的，最好考虑以下功能：（
方程2.1.4）
的最后一个功能具有以下属性，这些属性在计算VaR和CVaR时非常有用：
a）是凸函数。
b）en是最小值，即。
c）该函数的最小值为en。
这些属性的直接结果是，可以推断出可以通过针对以下方面并同时优化辅助功能来优化CVaR：（
方程2.1.5）
这样，可以直接优化CVaR，而无需先计算VaR。此外，当损失函数相对于凸函数时，它是投资组合变量的凸函数。在这种情况下，如果投资组合中可行位置的集合也是凸的，则等式（2.1.5）中的优化问题就是凸的问题，可以使用众所周知的技术来解决此类问题。 。
通常，不可能在建议的公式中计算或确定随机事件的密度函数，但是，例如，可能有多种情况；因此，代表随机事件的某些历史值; 收益率或投资组合资产价格的历史时间序列，或者可以是通过计算机模拟获得的值，在我们的记忆中是随机的维纳过程。无论如何，这项研究的重要部分是研究获得方案的不同选择。
随后，基于可用场景使用随机事件的经验分布获得函数的近似值：
（公式2.1.6）
通过这种方式，可以通过在公式（2.1.5）中将a替换为近似值：（
方程2.1.7）
现在，如果我们引入辅助变量来代替分配限制，则会
遇到以下优化问题：（方程2.1.8）
Sa：
最后，可以观察到，如果损失函数相对于线性函数，则方程（2.1.8）中的优化问题可以简化为线性规划问题，即必须将其弄清楚，它的大小取决于生成的方案的数量，因此必须使用大规模的线性编程技术。提出了一种启发式算法来解决这个问题。该存储器的重要部分是实现上述算法，并在获利能力与VaR之间进行比较（与Markowitz使用有效边界的方法相同）。
2.3收益分析
首先要做的是分析组成投资组合的股票的回报，以便观察它们在至少T = 10年的时间范围内的行为。
此信息至关重要，因为从中获得的信息既可用于开发预测模型，又可用于将VaR最小化，这将是我们研究的起点。
一旦定义了投资组合，下一步就是获取这些公司中每个公司的价格序列（请参见第1.5章）。
使用这些系列的历史价格，获利能力将按以下公式计算：（
公式2.1.9）
目的是获得每年，每月和每天的回报以及相关的风险，这些风险通过方差和标准差显示。最后，作为查看投资组合多元化水平的一种方式，还将获得相关矩阵，这将使我们对所选投资组合的多元化水平有所了解。
关于收益的计算方式，可以说有多种选择来执行它们，其中一些比其他更复杂，但总是有一些共同点：对理想投资期限的工具价格预测。这样，可以说，通过简单的方法和历史平均值计算的收益，以及通过时间序列的计算，都达到了在规定的时间范围内显示收益行为的目的。
许多金融公司使用的传统预测是历史平均收益率，其定义如下：（
方程2.2.0）
考虑到收益存在均值回归的现象，这似乎是一个很好的近似值，但是这是不现实的，因为它是一个统计结果，没有包含投资范围不是T的事实。
考虑收益轨迹的第二种方法是估算ARIMA类型的时间序列模型（移动平均线的自回归综合模型），在此报告中将不使用该模型，因为将假定历史平均收益为整个期间T
一旦获得了回报的历史平均水平，就必须在时间范围T上进行补充，因为就其本身而言，不能做出决定是自给自足的，这就是为什么还要分析投资组合风险的原因。
通常，诸如银行或收银台之类的金融机构使用方差来度量股票的波动率，其计算
公式如下：（方程2.2.1）
如果假设根据正态分布（高斯曲线）分配资产，可以说具有95％的置信度，该资产的未来获利能力将属于以下区间：
（公式2.2.2）
在此假设下，可以量化未来获利能力将下降的区间的宽度，也可以量化获得确定的获利能力的可能性。
一旦定义并计算了与每种资产的收益率和波动率相对应的参数，下一步便是查看每个操作之间的关系，必须使用该关系来输入协方差和相关系数。
协方差将指示在另一资产的价值发生变化时资产的行为，其定义如下：
（公式2.2.3）
其中和分别是资产和b的可能返回值。
协方差表示一个动作与另一个动作的差异程度。这样，如果协方差为正，则意味着当一只股票上涨时，另一只股票也倾向于上涨；如果协方差为负，则意味着当“ a”上升时，“ b”趋于下降。如果协方差接近于零，则意味着这两个动作不相关。
相关系数也是一个统计参数，它也指示两个动作之间的关系，并且更易于解释。该系数由以下公式定义：
（方程2.2.4）
必须：（
方程2.2.5）
与协方差的解释一样，如果两个动作沿相同方向移动，则相关因子将为正；如果两个动作沿相同方向移动，则相关系数将为负。相反的方向。另一方面，如果动作彼此之间没有关系，则其将为零。
该系数的优点在于，除了能够解释两个动作的运动方向之外，它还为我们提供了有关这种关系的大小的信息，其表示如下：
接近0“股份之间的弱关系”
接近-0.5-“股份之间的适度关系”
接近-1“股份之间的强关系”
一旦获得了确定范围的历史平均获利能力，以及方差，协方差矩阵和股票的相关性，便可以对未来价格进行预测。
为了预测组成投资组合的股票的未来价格，决定通过维纳过程使用矩阵过程生成价格预测方案，该过程使用矩阵程序以获得相关资产和蒙特卡洛模拟技术。
2.4选择组成报告组合的股份
首先，通过彭博，我们获得1994年1月13日至2007年8月10日IPSA所有股票的每日收盘价。然后按开始日期升序对股票进行排序。
投资组合选择标准如下：
十多年的收盘历史数据。
股市占有率等于100％。
通过拥有大量的股票市场，可以确保股票在股票市场中具有良好的流动性。
因此，将在表1.2中看到满足这些要求并且将在本报告中使用的操作，以绿色突出显示的是所选的操作。这样，本报告中将要使用的份额相当于IPSA的一半，即总计20份额，其历史数据为1997年5月22日至2007年8月10日，其中拥有超过10年的信息，每个公司有2667个样本。
表1.2为报告选择的智利行动的例子
资料来源：自己拟订
使用这些价格系列，目标是获得每年，每周和每天的回报，以及通过方差和标准偏差显示的相关风险。最后，作为查看投资组合多元化程度的一种方式，还将获得相关矩阵，这将使我们对所选投资组合的多元化程度有所了解。
彭博社提供的股票历史数据是从星期一到星期日，重复周末星期五的收盘价，如果不清理数据库，则会产生错误。因此，使用SPSS软件（社会科学统计软件包，标准版本11.5）进行清理。我们创建一个变量“ dys”作为周末变量，然后使用消除该变量的选项进行过滤，换句话说，消除周末。语法如下：
COMPUTE syd = XDATE.WKDAY（日期）。
变量标签syd'Saturday and Sunday'。
执行。
全部使用。
选择IF（syd〜= 1&syd〜= 7）。
执行。
继续进行价格序列分析，下一步是获取每个操作的回报，首先将以图形方式分析价格序列的行为。该分析将使用Microsoft Excel 2003软件
进行，价格序列的图形结果如下所示：
Y轴上是该系列的价格，X轴上是时间。在横坐标轴上，您可以看到与日期关联的样品编号。该系列包含约2,667个数据，这些数据代表约10年的信息，不包括非营业日（星期六和星期日）。
价格序列的行为以图形方式
图1.2选定股票的价格演变（1997年至2007年）
来源：自己制定
图表1.2显示，随着时间的流逝，股票的价格在大多数情况下表现出指数行为，但是，在Madeco股票的特殊情况下，会出现相反的现象，即相反与其余股份成比例。这是为了以下目的：
从1999年开始，该公司在其市场中面临一系列困难，对其业绩产生不利影响。 1998年开始的亚洲危机导致Madeco服务的市场中的工业活动水平显着下降，特别是在电信和建筑行业。 1999年，巴西货币贬值影响了Ficap的竞争地位，从而降低了其对合并业绩的贡献。近年来，由于南美主要地区经济的恶化，该公司提供的行业，尤其是电信领域的投资水平有所下降。这种不利情况在2001年和2002年加剧了，由于阿根廷发生了经济危机（导致工厂关闭和Madeco认可条款）。 2003年，公司开始了业务重组流程，主要目的是提高生产流程的效率，同时减少费用结构并加强商业策略。尽管销售水平与2002年相比下降了8％，但经营业绩却增长了84％，这反映了所做的经营调整。截止到2004年9月，其商业战略的加强以及在主要市场（巴西和智利）的更大的经济活动，转化为销售水平和产生现金流量的能力大大提高。
这反映在营业利润率的积极趋势上，该趋势达到了8.2％，与1999年之前的水平相似。对于2005年，该公司预计其营业结构的合并将反映在其利润率的稳定中。 。
然后，下一步是计算历史收益，该历史收益是通过历史平均收益公式（公式2.2.0）获得的。这些结果基于每日数据显示在图1.8和1.9中：
根据97-07年间的获利能力，可以获取不同所需时间段的预期收益，例如年度，每周或每日预期收益。
通过这种方式，通过公式（公式2.1.9）将每日价格转换为每日获利能力，然后通过以下公式
（公式2.2.6）进行每日，每周和年度收益的转换。
其中，f对应于回波之间的频率，这是将回波视为数据，并且是到达所需频率的标准化回波。
示例：如果我们有一个年度回报，并且想按月分解，则f = 1/12，因为一年有12个月。否则，如果您拥有平均每日回报，并且希望每月转移一次，则f = 21，因为平均一个月有21个工作日进行交易。
组成投资组合的股票的获利能力
表表1.3这段时期（1997年至2007年）的历史获利能力
资料来源：自有阐述
表格1.4这段时期（1997年至2007年）的获利能力详细信息
来源：自有阐述
在表1.3中，可以看出，Madeco股票的日收益率和周收益率均显示负数，也就是说，如果投资者投资该股票，他们将亏损。该陈述是不真实的，因为如果遵守表1.4的详细说明，该行动的年收益，平均每年收入为45.8％。应当注意，在我们的研究中，将使用每周数据（t =周）将其引入维纳过程，如下所示。
第三章通过维纳过程和蒙特卡洛模拟技术生成场景。
场景生成器的目的是在一定的计划范围内生成所涉及的决策变量的一组值，其输出是场景或一组场景，并且包含变量的历史行为。
生成未来获利方案的一种替代方法是使用采用矩阵程序和蒙特卡洛模拟技术的维纳过程。
3.1随机方法论简介
任何值随时间以不确定的方式变化的变量，可以说它遵循随机过程。这些类型的过程可以分为离散时间或连续时间。
离散时间随机过程是变量的值只能在某些确定的时间点更改的过程。另一方面，连续时间的随机过程是其中随时可能发生变化的过程。
随机过程也可以分为连续变量或离散变量。在连续变量过程中，变量可以采用的值由范围定义，而在离散变量过程中则定义了可能的值范围，这些值在整个过程中保持不变。
在这部分针对股票价格预测的工作中，将开发连续可变和连续时间的过程。对于理解诸如期权之类的其他衍生产品的管理，了解此类过程至关重要。
应该说，在实践中，没有观察到遵循连续可变或连续时间过程的股票价格，因为这些价格受某些离散值的影响，例如：整数值或比索，美分或比索的倍数，另一方面，价格变化取决于交易所交易的日期。但是，事实证明，可变时间和连续时间过程对于这种目的是非常有用的工具。
3.2马尔可夫过程
马尔可夫过程被定义为一种特殊的随机过程，其中只有变量的当前值与预测未来有关。更笼统地说，可以说变量的历史和该变量当前所产生的噪声与预测未来价值无关。关于股票价格，值得一提的是，通常假设可以通过马尔可夫过程进行预测，通过该过程，股票的未来价格的预测将不受昨天，上周或未来价格的影响。上个月 。
该理论与理论（如市场效率）所提出的一切都是一致的，其中假定股票的当前价格包含了所有过去的信息。
由于未来的预测是不确定的，因此必须以概率分布来表示。在这方面，马尔可夫性质意味着未来股价的概率分布将不取决于过去遵循相同动作的某种模式，而仅取决于其当前状态。
3.3维纳过程
此过程是随机马尔可夫过程的一种，也称为布朗运动，其均值为0，其方差等于1。此过程在物理学中广泛用于描述受大量运动影响的粒子的运动。变化。
形式上，如果变量满足以下属性，则遵循Wiener流程：
特性1：短时间内的变化为：（
方程2.2.7）。
其中，是具有标准正态分布的随机变量。
属性2：两个小时间间隔的值是独立的。
继续在属性1中公开的内容，它本身具有以下正态分布：
和
第二个属性表示z遵循马尔可夫过程。
考虑到大约在很长的时间段T中z值的增加，我们可以用表示这种增加。另一方面，这也可以看作是N个（小的）时间间隔中z的小增量之和，其中：
因此，
（等式2.2.8）。
带分布的随机变量在哪里。另一方面，从维纳过程的第二性质来看，变量彼此独立。然后，继续前面（公式2.2.8）中所述，它通常以以下形式分发：
和
这与本章开始讨论的内容一致。
关于计算，经常需要注意的是，通过极限表示较小的变化，使这些变化接近于零。因此可以表示为。当您具有随机过程时，可以以相同的方式进行处理，以维纳过程表示为极限，而对于z而言，则为上述过程。
3.4广义维纳过程
基本的维纳过程的变化率为零，方差为1。变化率等于零表示z在任何未来时刻的期望值都将等于其当前值。另一方面，方差等于1意味着在时间间隔T中z的变化的方差等于T。
用z概括变量x的维纳过程，我们得到：（
方程2.2.9）。
其中a和b是常数。
为了理解上述方程式，考虑两个独立分量之和是有用的，其中该术语暗示x具有每单位时间的变化率。不考虑b表示的项，该方程式可以表示如下：
通过微分方程的解析，我们得出：
其中，x是时间0的值。这意味着对于每个时间段t，x的值将以的速率增加。
等式的项可以被认为是噪声或后跟x的图案变化。这样，方程中的噪声或可变性的量将被定义为维纳过程的b倍。
由于维纳过程的标准偏差为1，遵循我们一直在开发的线，因此我们将得到b倍于维纳过程的标准差为b。这样，如果我们采用较小的时间间隔，则x值的变化将由公式（2.2.7和2.2.8）给出，例如：
如前所述，其中对应于具有标准正态分布的随机变量。由此可见，它具有以下正态分布：
通过为维纳过程提供的相同参数，表明对于在时间间隔t中x值的任何变化，x都将正态分布为：
x的变化平均值= x
的变化方差
因此，方程2.2.9给出的广义维纳过程的预期单位时间变化率等于a，单位时间方差为。
维纳过程有类似的替代方法，其中变量a和b而不是常数，可以是相对于变量x和t的变量函数，从而生成更复杂的随机微分方程。
3.5股价预测
从现在开始，我们将专注于用于确定股价的随机过程，而不考虑公司的股息政策。
诱使人们建议股票的价格遵循广义的维纳过程，即，其变动率是恒定的，其方差是恒定的。但是，当捕获股价的最重要特征时，即投资者要求的股票期望收益百分比与股价无关时，此方法将过时。显然，汇率恒定的假设是不合适的，必须用预期收益（股票价格的预期变化）恒定的假设代替。
以此方式，如果将S定义为时间t处的股票价格，则相对于价格的变化率将被表示为恒定参数。同样，对于较小的时间间隔，S的预期增加将由下式给出：
关于此参数，该参数对应于以十进制形式表示的股票的预期获利能力。
因此，如果我们假设股票价格的波动率始终等于零，则该模型将表示为：
假设
对区间之间的方程进行积分，我们得到：
（公式2.3.0）。
其中和分别是零时和T时的股价。等式（2.3.0）表明，当方差等于零时，股票价格将随着每单位时间的汇率而连续变化。
假设股票价格的变化没有显示出波动性，那与现实相去甚远。鉴于此，可以合理地假设，股票的可变性将由其价格的百分比来表示，并且像回报一样，该值将独立于股票的价格。
最后，将通过以下方式定义预测模型：
（方程2.3.1）。
上面的方程式是最常用的对股票价格行为进行建模的方程式，它对应于股票的波动率或标准差，它是预期收益，并且对应于Cholesky随机矩阵（由，这是来自标准正态分布（均值为零且标准差为1）的随机变量。
3.6价格预测的一般化
先前开发的股票价格行为模型被称为几何布朗运动，其离散形式通过以下方式表示：
（方程2.3.2）。
（方程2.3.3）。
该变量表示在很小的时间间隔内股价的变化，并且是来自标准正态分布（均值为零和标准差为1）的随机变量。
等式（2.3.2）的左侧部分对应于该时间间隔内动作的返回。该术语对应于收益的期望值，代表收益的随机成分。
公式（2.3.2）表明它以均值和标准差正态分布，换句话说：
3.7预测模型
布朗运动的过程将用作产生未来收益的模型。为此，将基于历史数据生成正常的随机数，将预期收益，标准差和资产的随机相关性并入其中，从而生成对未来收益的预测。
根据以上所述，预测未来日收益的方式将与（2.3.1）中的建议相同，不同之处在于，当使用每日信息并希望预测一天时，时差将相等。 a 1.以这种方式，对于这种特殊情况，方程式将由下式定义：
（方程2.3.4）。
对于具有正态分布的随机变量的每个值，将在下一个时间单位内生成将来的获利情况。重复多次，并使用所有这些方案来获取度量值，例如平均收益和股票的方差。这就是所谓的蒙特卡洛模拟。
3.7.1蒙特卡洛模拟
在不确定的条件下做出决策意味着要努力预测未来，以预见风险情况，准备面对不利条件，避免错误的选择并利用有利的情况。
为此，蒙特卡洛模拟是一个非常好的基于科学的工具，可以使用该工具预测事件的一系列情况或可能的情况。
这样，1998年Nassir Sapag将蒙特卡洛过程定义为一种模拟不确定场景的技术，该技术允许通过随机选择获得不可控变量的期望值，其中选择结果的概率对应于由其分布给出的一个。
3.7.2收益的相关性
在收益分析中，评估这些收益的相关性非常重要，因为该指标使我们对资产的价值变化时资产的行为有了一个概念。换句话说，相关系数告诉我们两个动作在同一方向上移动的程度。
当生成随机数并通过方程式（2.3.1）获得不同的预期回报方案时，回报率和波动率将大致对应于通过历史数据获得的收益率（理论上它们是相同的），但是其行为彼此之间的动作不会被建模。这意味着，通过在收益建模中不考虑相关性，它们将彼此完全独立（相关系数接近零），这在构建投资组合时意味着获得与实际情况相去甚远的预测。建模的一种替代方法是使用Cholesky分解，这将在下一部分中讨论。
可以通过与Cholesky分解或因式分解一样的方式生成相关回报的预测，方法与以往的相关方法一样。
在线性代数中，Cholesky分解对应于矩阵分解，其中将正定对称矩阵分解为两个矩阵的乘积。
定理1：当且仅当存在一个具有严格正对角线的上三角矩阵S时，每个对称矩阵A都是正定的，使得：
矩阵A的这种分解称为Cholesky分解。
所呈现的三角分解的最重要的应用之一是，它们允许将一个系统求解为两个三角系统，即通过两个替换过程：一个正向，另一个反向。
在下文中，将说明如何通过Cholesky分解从不相关的数据中获得相关的数据序列。
肖恩（Sean）：：
历史数据的均值
：方差和协方差的矩阵。
答：历史数据的相关矩阵。
然后：（
式2.3.5）。
其中D是带有元素的对角矩阵
（方程2.3.6）。
即，D是在对角线上具有标准偏差的逆的矩阵。
令S为矩阵的Cholesky分解：
将表达式替换为（2.3.5），我们获得：
这意味着R的Cholesky分解矩阵为：
接下来，将表明，从一个独立且预先乘以R的Cholesky分解矩阵的向量中，以与历史数据相同的方式获得了一个相关的法向向量。那是：
众所周知，
然后，
用上一个方程代替，我们有：
从等式（2.3.6）我们有一个对角矩阵，其元素是矩阵R对角元素的逆，由于R是一个相关矩阵，这些值将等于1.因此它是等于单位矩阵，因此表明：
3.7.3场景的生成
一旦获得了相关的随机数，就可以使用公式（2.3.3）恢复数据的均值和历史标准差。从矩阵上可以表示为：
这样，将生成均值和标准差等于历史值的随机向量，这可以通过以下方式证明：
因此，在哪里：
对于方差的情况：
但是怎么
以及如何：
预乘和后乘（a），我们看到：
从而：
由此表明，通过方程（2.3.2）和Cholesky分解，可以生成方差和协方差均值和矩阵等于历史值的方案。
3.7.4预测模型的实施
蒙特卡洛方法是一种算法，用于通过生成场景来估计随机变量的期望值，从而获得有关变量行为的信息。
这样，借助Matlab 7.4和TomLab / CPlex（进行优化的编译器），该算法将“运行”在Intel（R）Xeon（TM）计算机，2个3.4 GHz处理器和2Gb RAM以及Microsoft操作系统上。 Windows Server 2003，其中将为投资组合中的每个操作生成一系列随机数，以模拟一组每日和每周的方案。因此，将获得大量场景（根据Johnson的建议，在2000年到5000年之间），根据均值和标准差等于数据且具有相同相关性的标准正态分布（如前一章）。这样，将获得一个矩阵，其中行数等于已处理的动作数，而列数等于模拟中定义的方案数。
如上所述，随机数的生成将取决于投资组合中管理的资产数量，系统将通过预期收益向量的维度来识别这些数量。另一方面，每周要建模的场景数量是通过称为“样本”的参数手动输入的。
一旦生成了随机数，利用Cholesky分解就可以以与过去关联数据相同的方式获得相关序列，但要保持随机数的均值和标准差，即和。这个新矩阵的维数与随机数生成的维数相同。
数据关联后，下一步就是获得均值和标准差等于历史均值的序列，因为正如已经看到的那样，股票的收益率不为零，波动率不等于1。
该系列的收益率，波动率和历史相关性的合并通过方程式（2.3.4）进行，该方程式来自维纳过程的发展。通过这种方式，获得了一个矩阵，该矩阵表示在对应于一周的时间范围内，投资组合中的每只股票的回报方面的一系列可能情况。
这样，将在需要建模的每个星期重复生成随机数，例如获得与历史相关的相关性，回报和标准差的过程，从而生成三维排列（操作数，模拟和每周进行预测）。
该程序将使用公式2.2.0获得的历史平均值提供两种替代方案来生成方案，如我们所见。另一个是通过专家判断数据，在我们的案例中是“彭博”软件，它将提供公式2.3.6中的数据，称为“资本资产估值模型”或“资本资产定价模型” （Capm），这是金融经济学中经常使用的模型。它表明，投资于资产的风险越大，该资产的回报就必须越大，以抵消这种增加的风险。因此，我们得到：
式（2.3.6）。
其中
：::无风险利率，或者在智利，为5年期指数化中央银行债券
：市场利率，在我们的情况下，它将是年度IPSA。
（Rm-Rf）：代表市场投资组合的超额收益。
：β系数用于衡量不可分散的风险。这是资产对市场表现变化的反应程度的指数。表征市场的贝塔系数为1；相对于该值判断所有其他系数。资产beta可以采用正值或负值，尽管（正）值是常态。大多数β系数在0.5和2之间（专家判断）。
稍后，我们通过以下公式将转换为：
公式（2.3.7）。
应用方程式。2.3.7并使用每种资产的资产，将保留以下内容：
表1.5通过CAPM获取每周平均值和通过历史数据获取平均值的示例
来源：自己的阐述
表1.5列出了用Capm表示的20种资产的每周均值（u_weekly），这些均值将在公式2.3.4中替换，该公式来自维纳过程的发展。通过这种方式，获得了一个矩阵，该矩阵表示在对应于一周的时间范围内，投资组合中每个股票的回报方面的一系列可能情况。 Capm所获得的均价与历史数据之间的差异得到了明显的赞赏，这是由于以下事实：圣地亚哥证券交易所在过去10年中经历了股价的大幅上涨，因此使用历史平均水平将存在大量“噪音”。鉴于以上所述，使用Capm获得的每周平均值比较方便，因为它要保守得多。
第四章计算VaR的优化算法
在这一部分中，将介绍VaR最小化算法，其中考虑了方程（公式2.4-2.9）中指示的所有假设。
4.1算法的非正式描述
根据定义，-VaR是最小值，因此损耗小于或等于此值的概率大于或等于。基于场景的模拟，-VaR产品组合；损失小于或等于VaR的概率大于或等于的投资组合被估计为方案k中的损失，其中所有损失小于或等于的方案的总概率至少为。
在这项工作中要考虑的启发式算法背后的一般思路非常简单。首先，通过对最小CVaR进行近似获得最佳投资组合，然后通过使用线性规划技术解决一系列CVaR问题，系统地降低投资组合的VaR。这些CVaR问题是通过限制和“丢弃”显示大量损失的方案而获得的。
该算法的目的是为VaR建立上限，然后最小化这些上限。 -VaR的第一个上限是-CVaR，已将其最小化。然后将损失超过-VaR的方案进行划分，并将这些方案的上部“丢弃”（见图2.2）。丢弃的场景数量由参数确定（例如，如果等于0.5，则丢弃上半部分）。图1.4显示了该方法的第一步，当高损耗场景被丢弃并被排除（使它们处于“非活动状态”）时。然后，以这样一种方式计算新值，即具有该新值的CVaR是原始问题的VaR的上限。 -CVaR是活动场景的预期损失，其损失超过-VaR，即，-VaR和图中虚线之间的场景。通过这种方式，将上限降低到最小。简而言之，该过程包括构建一系列上限，将这些上限减小到最小，直到无法继续排除活动方案为止。在此过程结束时，将使用考虑的启发式方法，在其中将损失最小化，同时确保将超出情况的损失存储在其中。这种方法需要解决一系列线性编程问题。该过程包括构建一系列上限，将这些上限减小到最小，直到无法继续排除活动方案为止。在此过程结束时，将使用考虑的启发式方法，在其中将损失最小化，同时确保将超出情况的损失存储在其中。这种方法需要解决一系列线性编程问题。该过程包括构建一系列上限，将这些上限减小到最小，直到无法继续排除活动方案为止。在此过程结束时，将使用考虑的启发式方法，在其中将损失最小化，同时确保将超出情况的损失存储在其中。这种方法需要解决一系列线性编程问题。
图1.4实施算法的图形示例。
资源：
在图1.4中，可以看到，在算法的第二步中，显示最高损失的场景被限制并丢弃（使它们不活动）。因此，以这种CVaR是VaR的上限的方式生成了新的CVaR。
在下一节中，将更详细地说明该算法。
4.1.1算法
在本节中，将对先前介绍的算法进行正式描述。
请注意，此优化问题的解决方案由给出
ii）关于损失函数的值，按升序对场景进行排序，表示由排序的场景。
步骤2：估算VaR。
计算VaR估计值，其中
。
步骤3：算法停止条件
是的，停止算法。资产组合的最佳估计值将在哪里，VaR将等于。
步骤4：重设
一世）。
ii）和
iii）。
iv）转到步骤1。
换一种说法：
步骤1：优化子问题
关于损失函数的值，按升序对场景进行排序，表示由排序的场景。
f（xi *，yln）<= f（xi *，yl2）<=…….. <= f（xi *，yl5000）
步骤2：估算VaR。
l（0.95）= l = 0.95 * 5000 = 4750α
= 0.95; i = 0; H0 = {1…5000}
步骤3：算法停止条件
是的，停止算法。资产组合的最佳估计值将在哪里，VaR将等于。
因此，在头寸4486中，最小风险（VaR）对应于预期收益。
正式定义问题后，将对上述每个步骤进行更详细的说明。
步骤0通过将置信度级别定义为并将迭代计数器设置为零来初始化算法。
CVaR优化子问题（方程2.3.8）中包含的方案被定义为活动方案。最初，所有方案都是活动的，并由集合H0表示（该集合实际上表示的是活动方案的索引集）。在以下步骤中，当解决了CVaR定义的优化子问题时，将仅考虑Hi定义的一组活动方案（让我们强调Hi是该活动方案中活动方案的索引集）。步骤i）。所谓的非活动方案对应于先前迭代中已排除的方案。该参数定义队列中将在每次迭代中排除的方案的比例。例如，如果= 0.5，则在每次迭代中排除一半队列。稍后我们将为该变量赋予不同的值，以查看这些变化如何影响算法。
步骤1解决了减少-CVaR的优化子问题，该问题是-VaR的上限。该变量是一个自由变量，可确保非活动方案中的损失超过对应于活动方案的损失。
在步骤2中，将VaR估计为方案中的损失，以使损失小于或等于此方案的方案的累计概率大于或等于。
在步骤3中，当仅在一个活动方案中对子问题进行优化时（即，在与-VaR的估计相对应的方案中的损失已最小化时），算法停止。这样，在获得最佳解之前，要执行的迭代次数将取决于以下参数的大小：
J：要建模的样本或场景的数量。
Alpha（）：置信度。（-VaR）
Chi（）：队列中场景的比例，每次迭代将排除在外。
在步骤4中，以仅基于活动方案计算的-CVaR为原始-VaR的上限进行定义。在活动方案中最小化-CVaR会导致在活动队列中超过-VaR的平均值最小化。图2.2中举例说明了这种情况。
此外，在此步骤中，超出-VaR的活动方案的上部将从Hi活动方案系统中排除。例如，如图1.4所示，在第一次迭代中，队列被分为两部分，队列的上半部分变为非活动状态，而下半部分与活动场景的集合H1相对应。
4.2优化算法的结果
在本章的这一部分中，将显示通过优化算法获得的结果。
第一步，只有与要建模的场景数量（J），置信度（α）有关的变量，该置信度定义了α-VaR和场景中队列的比例，这些变量在每次迭代中都将排除在外（ ξ），在30％的多元化限制和对收益无要求的情况下获得所选投资组合的VaR行为，将针对两种情况生成情况以类似的方式进行此计算; 历史平均值和使用Capm计算的平均值（请参见第3.7.4节）。
对于上述情况，采用以下值：
J = 5000α= 0.95ξ= 0.5
表1.6使用历史每周平均值和Capm平均值得出的已实现算法数据的结果。
来源：自制
表1.6显示，在相同条件下生成情景时，如果使用历史平均值而不是平均Capm，则收益更为乐观，这是可以预期的，因为所提取的资产样本为了进行分析，它仅考虑最近10年（1997-2007年），这正是股票市场涨幅超过预期的时期，因此，我们应该使用算法获得的平均值考虑算法的结果。 Capm，因为它们是更保守的数据。
应该注意的是，算法本身选择了收益为正的资产，却以收益为负的资产为代价，这给出了其工作方式的想法。
还观察到，在两种情况下，随着时间从4周增加到36周，收益增加，从而增加了风险。
图1.3比较两个方案模拟方案的图
来源：自己的阐述
通过分析图1.3，我们观察到金融基本原理的守恒性，即对两种情况均适用的收益越高，风险（VaR）越大。
如前一段所述，可以看出，使用历史均值时，收益和风险的预测比均值Capm的预测更为乐观，因为后者更为保守。
继续我们的研究，我们现在设置了24周（6个月），5000种情况（J = 5000），90％的置信区间（α= 0.9）和ξ= 0.5（算法的固定参数，印度）的预测范围（在每次迭代中排除一半的尾巴），并更改分散度（div）和要求收益的结果，结果如下：
表1.7软件（论文）提供的数据
资料来源：自己制定
从表1.7中可以看出，在相同的情况下（div = 0.3），如果我让算法“单独工作”，也就是说，在不要求一定回报的情况下，它获得的风险（VaR）比5.5％的回报率。
现在需要一种算法，即投资组合至少要出租6％，而其分散度为30％，因此找不到具有所要求的获利能力的最优投资组合，因为在此期间没有更多的获利行为，因此该程序传递“错误”消息，“尝试降低获利能力”。
这样，如果我们使多元化程度等于1，即算法选择了最有利可图的股票并自由投资，而没有限制何时投资每只股票，并且我们要求算法租金至少为6％，风险通过要求更高的回报而绝对增加，这显然必须要实现，因为这是金融的基本原则之一，即投资组合的风险越大，期望的回报就越大。
现在分析其他情况：
场景：5000，并使用每周平均Capm
表1.8三个时间段内置信区间的变化
来源：自己的阐述
在表1.8中，分别在三个时间段的4、12和20周内分析了置信水平的变化（90％，95％和99％），而相同的分散水平为20％，并且不需要回报。对于这三个时间段，可以看出VaR置信区间越短，与投资组合相关的风险就越低，并且随着置信度水平的提高，相关的风险将显着增加。
表1.9 8周时间和95％的置信区间的多样化水平的变化。
来源：自制
从表1.9中可以看出，随着算法多样化程度的提高，投资组合的预期收益以及与之相关的风险非常相似，这是因为该限制的目的在于查看何时最大可能投资每项资产。通常，由于SVS根据第148条的规定对普通基金管理员施加了这种限制。
最后，在12周（3个月）的时间范围内，置信度为95％，投资组合分散度为30％，可获得以下结果：
表2.0算法中ζ的变化
来源：自己的阐述
在表2.0中，可以观察到，通过增加算法中的chi（ξ）参数，投资组合的预期收益和与之相关的风险保持恒定，这些结果与预期的一样，因为此参数与花费的时间相关联收敛于解决方案的算法，换句话说，要达到最优解必须经过的迭代次数。
4.3优化算法的验证
为了验证我们的算法以最小的VaR风险有效地提供了权重的最佳矢量来投资于每个股票，我们做了以下工作：
采取了先前的示例（J = 5000，α= 0.9，div = 0.3，视野= 24周然后退货就没有了）。运行该软件，并扰动了通过X *算法获得的最佳矢量，如下所示：
X1 = X * + e1VaR1，E（r）1
X2 = X * + e2VaR2，E（r）2
X3 = X * + e3VaR3，E（r）3
…
Xn = X * + e4 VaRn，E（r）n
其中y。
也就是说，在向量中，第一个分量被扰动了1％，其余分量被减去，其中n是大于0.01的分量数（因此它们不小于0且总和Xi等于1）。随后，在新点X处计算了预期收益和VaR。
为了证明我们确实存在最优，结果图必须如下所示：
图1.5验证算法提供的最优值
来源：自己的阐述
这意味着（参见图1.5），第二象限中不能有任何点，因为如果其中有一个点，则意味着在相同的风险（Var）或小于此风险的情况下，我可以获得更高的回报，这与金融理论相矛盾。
当我们以1％的干扰进行验证时，获得了以下结果：
图1.6算法验证的结果
来源：自己的阐述
图1.7图2.7中干扰的放大图
来源：自己的阐述
在图1.6中可以观察到，该算法有效地产生了最优的权重向量，以最小的相关风险进行投资，因为通过扰动向量X，所得值有效地具有更高的预期收益和更高的VaR。
图1.7是前一个图的放大图，它向我们展示了扰动形成了曲线，而不是如图1.6所示的直线。
第五章结论和建议
在此报告中，有可能达到拟议的目标，即通过计算实现在全国市场上不存在的优化算法，该算法通过最小化CVaR来计算VaR。
尽管这种算法可以用于所有类型的金融交易，但是在此工作中，是根据国家市场上交易的资产对股权投资组合进行实施的，但是所采用的方法可以推论到几乎任何世界市场。
重要的是要强调，VaR作为一种风险衡量手段已在全世界广泛使用。在智利，目前证券和保险监管局（SVS）要求将其作为某些类型交易的风险量化工具。关于这一点，必须说，在国家一级，VaR估计值只能通过统计方法来解决，这与本报告中开发的优化算法相去甚远。
通常，考虑到已定义的投资组合，使用统计VaR评估来量化事后风险。因此，它们仅用于了解承担的风险水平，而不是用作未来的决策工具。另一方面，所实施的算法会根据VaR得出最优的投资组合，即计算出对每种资产进行投资的权重，同时获得CVaR，最理想的风险度量（由于其性质）并且更为保守。
关于算法运算的财务信息的获取和生成，应该说，尽管股票价格的预测在建模时非常困难，但它们具有很大的随机性，波动性，期望和突然波动在市场上，所使用的技术（例如蒙特卡洛模拟，Cholesky分解和维纳过程）对于获得与原始系列所显示的历史相似的收益，波动率和相关性的预测非常有帮助。
关于通过优化算法获得的结果，可以看出它们与关于投资组合风险（VaR）和分散性以及所需的最优投资收益之间的关系的金融理论相一致。决定算法。
在第三章中，对于场景的生成，我们尝试以最真实的方式模拟股票的行为，更改CAPM的历史平均回报率，因为每个股票的回报率和无风险利率市场是由全球人民的专家判断得出的，因此他们的视野通常比有偏向的历史平均值更为真实。
在第四章中，关于算法的要求回报，观察到从一定值开始，VaR显着增长。在对自由多元化与静态多元化水平的分析中可以看到类似的行为。
从统计的角度来看，特别是在维纳过程建模中，可以将除正态分布外的其他分布添加到此报告中，尤其是，需要考虑更符合股票价格行为的不对称分布。 ，例如t型学生或后勤分配。
最后，编写本报告的另一角度可以是考虑将投资组合与债券和期权等其他类型的资产一起考虑，以及在保险或银行贷款领域的应用。
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