主题的总体目标：完成课程后，学生应该能够：
- -识别矩阵并以矩阵形式表示问题-熟练地执行矩阵之间的各种可能的运算-计算矩阵的行列式，解释该值并适当地使用其属性-使用矩阵表示法解决任何线性方程组-使用向量进行不同的操作，并将其属性应用于不同的具体问题的解决方案。
主题1：矩阵。
矩阵是数字的矩形阵列，排列在m行（水平）和n列（垂直）中，并用括号或方括号括起来。
最常用的表示法是A =，其中i是行的位置编号，j是列的编号。
通常通过写为下标“ mxn ” 来指定数组的大小
当m = n时，矩阵称为正方形。
主对角线：它仅存在于平方矩阵中，并且是由元素a ij形成的线，使得i = j
矩阵的迹线：它是主对角线元素的总和。
映射（A）= 11 + 22 + 33 +…+ nn
矩阵类型
行矩阵：它是1 x n阶的矩阵。
列矩阵：它是mx 1阶的矩阵。
空矩阵：它是一个元素均为“ 0”的矩阵
上三角矩阵：它是一个方阵，当i> j时其元素a ij = o
下三角矩阵：它是一个方阵，当i时其元素a ij = o
对角矩阵：它是一个方阵，当i≠j时其元素a ij = o
标量矩阵：它是一个对角矩阵，当i = j时其元素a ij = k（k≠0）
单位矩阵：这是一个对角矩阵，当i = j时其元素a ij = 1
对称矩阵：这是一个方矩阵，其中i≠j时ij = a ji
反对称矩阵：这是一个正方形矩阵，其中一个IJ = -一ジ 对于i≠ j和一个IJ对于i = 0 = j的
矩阵运算
相反的矩阵：令A =相反：-A =-=
转置矩阵：设A = mxn阶，其转置是通过用列置换行而获得的，表示A '或A t =，其阶数为nxm
矩阵总和：令矩阵为A =和B =求和
“逐个元素” A + B = y的大小相同。
注意：只能添加相同大小的矩阵。
标量相乘：通过将矩阵的每个元素乘以标量k·A =，得出矩阵A =标量“ k”的乘积
注意：在处理矩阵时，习惯上称为独立的数值量缩放。
矩阵乘法：只有当第二个矩阵中的行数等于第一个矩阵中的列数时，两个矩阵的乘积才可能。
令矩阵A = mx p和B = p xn为乘积，因为B中的行数为p且等于A中的列数。所得矩阵C的阶数为mxn C = A·B = mxn通过将A的行的元素乘以B的列的相应元素并将这些乘积相加，可以得到其元素。
线性组合：如果存在实数k 1，则说矩阵的一行是其他矩阵的线性组合; k 2; k 3;…; k n使得给定的行是矩阵中每个实数与其他所有行的乘积之和。
数组行之间的操作：
可以在矩阵的行之间执行以下操作，而得到的矩阵不再等于原始矩阵。
- 置换矩阵的两行将行乘以非零实数从行中添加或减去矩阵中其他行的一个或多个的线性组合。
矩阵的逆：
与实数的工作，许多“的划分一个 ”由数字“ b ” 可以被取代以“产物一 ”通过的“逆b ”。
一种方法还没有被定义为分矩阵直接，但如果我们能找到的逆矩阵给出然后我们可以定义（在是可能的情况下）的一个矩阵的分割甲矩阵之间乙如下：产品的甲由矩阵乙-1其中
乙-1 是逆矩阵乙。
查找矩阵逆的最常用方法之一是Gauss-Jordan方法，它包括注意与给定矩阵的边相对应的恒等矩阵，然后对两个矩阵的行进行转换，直到将给定矩阵转换为恒等式为止，则由对同一性执行的变换所产生的矩阵将是原始矩阵的逆矩阵。
矩阵算术的属性：
假设矩阵的大小使得可以执行所示的操作：
主题2：决定因素。
在以前的研究中已经与reares实变量函数的工作，例如为F（X）= 3× - 2是一个函数，一个实数X相关联的实际值F（X） 。行列式是将实数与矩阵变量相关联的函数，并定义为det（A）。
- 一阶矩阵（由实数组成）的行列式是实数本身。二阶矩阵的行列式是主对角线的乘积减去次级对角线的乘积。
行列式为与矩阵关联的实数，具有以下属性：
- 如果矩阵A的行或列的元素都为“ 0”，则det（A）= 0如果矩阵A具有相等的两行，则det（A）= 0如果A是方矩阵，则det（A t）= DET（A）如果A是一个三角矩阵，DET（A）=α 11 0A 22 0A 33 0… 0A NN如果矩阵B是添加到矩阵A的行的另一行，DET的倍数的结果（ A）= det（B）如果B是在矩阵A中交换两行的结果，则det（A）=-det（B）如果矩阵B是将矩阵A的行乘以标量k的结果则det（B）= k٠det（A）如果A和B是相等大小的矩阵，则det（A٠B）= det（A）٠det（B）det（A + B）≠det（A）+ det（B）
注意：如果矩阵A是可逆的det（A）≠0
评估阶数“ n”的行列式的方法。
- 通过减少（在行之间使用基本操作）。
该方法包括通过在行上执行操作并将矩阵转换为三角矩阵，并考虑行列式的性质，从所得矩阵的行列式获得行列式。
- 通过开发行或列中的辅助因子（克拉默规则）。
为了解释该方法，首先必须是一个次要方法，并且它是一个辅助因子或补语。
n阶矩阵的行列式是行或列的元素乘以它们对应的辅因子的乘积之和。
使用行列式的矩阵求逆：
给定一个方阵A，它被称为A的伴随矩阵，该矩阵用adjA表示到通过将A的每个元素替换为其对应的辅因子而获得的矩阵。然后，可以通过以下公式计算A的逆：
单元3：线性方程组。
线性方程：线性是存在一个或多个未知数或未知量的等式。
解决方程式包括寻找等式成立的未知数的一个或多个值。
当线性方程只有一个未知数时，则只有一个解，并且可以通过求解未知数或变量来求解。
当一个线性方程具有多个未知数时，它具有许多解（在大多数情况下为无限），因为求解一个变量时，它仍然是另一个变量的函数。要解决此问题，必须将参数的值分配给变量，然后其他变量将基于分配的参数。
线性方程组：如果它们具有多个方程且未知多个，则可以这样称呼，在这种情况下，可以给出三种可能的解：
- 系统具有单一解决方案（兼容并确定）系统具有多个解决方案（不确定兼容）系统无解决方案（不兼容）
由于线性方程式表示一条直线，因此解可以解释如下：
- 兼容和确定（相交的线）兼容不确定（相等或重合的线）不兼容（平行线）a）b）c）
解决具有2或3个未知数的2或3个方程的线性方程组的方法有多种。在本课程中，除克莱默方法外，将不再处理在先前课程中已经学过的知识，该方法将扩展到具有n个未知数的n个方程组。
通常，可以写出具有ninccognites的m方程的线性方程组（SEL）：
在本课程中，我们将研究使用矩阵和行列式解决SEL的问题，接下来让我们来看一个示例，以两种方式编写具有矩阵表示形式的SEL。
X 1 + X 2 + 2× 3 = 8 - X 1 - 2× 2 + 3× 3 = 1 3× 1 - 7× 2 + 4× 3 = 11
解决方法：
- 高斯方法。
高斯方法包括将方程组的扩展矩阵转换为阶梯式矩阵（将矩阵系数的一部分转换为三角形）。
- 高斯-乔丹方法。
Gauss-Jordan方法包括将方程组的扩展矩阵转换为缩放和缩小的矩阵（将矩阵系数的一部分转换为恒等式）。
- 克莱默的方法。
先前课程中研究的方法适用于具有n个未知数的n个方程的SEL。
- 反方法。
它包括在形式写入SEL的A0X = B，然后求解X = A -1 0B施加矩阵乘法。
线性方程的齐次系统：
当在SEL中所有独立项均为“ 0”时，则表示系统是同质的，并且可以具有：
- 的单一解决方案即S =（0; 0;…; 0）（平凡溶液）无限非平凡在溶液除解
它们通常由高斯–乔丹解决。
主题2：矢量空间
矢量：
我们将物理量级称为可以测量的物体的属性。质量，长度，速度或温度都是物理量。由于无法衡量，气味或同情不是物理量。
对于许多物理量，足以表明它们的值，以便对其进行完美定义。因此，例如，如果我们说若泽·安东尼奥（JoséAntonio）的体温为38摄氏度，我们就完全知道他发烧，如果罗莎（Rosa）身高165厘米，体重为35公斤，显然她很瘦。当数量由其值定义时，称为标量。
其他数量级及其数值并不能为我们提供所有信息。如果他们告诉我们Pedrol的时速为20 km / h，那么除了开始时我们几乎一无所知。他们还应该告诉我们他从哪里跑来和往哪里去。
这些除其值之外还需要方向的量称为矢量量，并由vector表示。在本主题中，我们将研究向量及其属性。
我们可以将向量看作是在其一端带有箭头的线段。通过这种方式，我们可以通过四个基本部分对其进行区分：应用点，模块（规范或强度），方向和感觉。如果两个向量的后三个元素（强度，方向或方向）中的任何一个都不相同，我们将认为它们是不同的。
如果它们仅在应用方面有所不同，我们将认为它们是平等的。
始终可以绘制方向相同但方向相反的两个向量。如果它们也具有相同的强度，我们说它们是相反的向量，因为它们会相互抵消。
我们已经知道如何表示向量数量。但是，如果我们希望能够使用向量，就不能满足于以图形表示它们，我们需要能够以数字方式表达它们，以便能够更舒适地操作并能够更好地研究它们。
任何矢量都可以在平面上绘制，如果我们将其应用点的位置与坐标的原点（矢量的终点）重合，则它将与平面上的一个点重合，即点（x，y）。
任何点（x，y）都会确定从坐标原点开始并在点本身处结束的向量。从解析上讲，我们将通过确定向量端点的点来表示向量。我们将调用向量分量的坐标，因此每个向量都将由两个分量定义，一个x和另一个y，它们将成为向量的笛卡尔分量。
除了其笛卡尔坐标，还有另一种数字确定矢量的方法：指示其强度和与横坐标轴形成的角度。这些（模数和角度）是矢量的极坐标。在许多情况下，使用极坐标比使用笛卡尔坐标更方便。
知道向量的极坐标，通过应用三角函数即可立即确定其笛卡尔坐标。
向量和矩阵：
向量可以表示为行矩阵或列矩阵，以相同的方式可以将矩阵的行和列视为向量。
向量运算：
加法：加法向量加法向量并产生一个法向量。可以以图形方式（如先前课程中所研究的）和分析方式执行此操作。
注意：本课程的目标是以最后一种方式进行更多的工作。
要以解析方式添加两个或多个向量，必须首先用笛卡尔坐标表示它们，然后将它们作为行矩阵（逐个分量）相加。只能添加大小相等的向量。
像任何操作一样，向量的加法具有一些使执行起来更容易的属性：
| 交换性质 | v + w = w + v |
| 关联财产 | （v + w）+ u = w +（v + u） |
| 中性元素 | v + 0 = v |
| 相反的元素 | v +（-v）= 0 |
标量相乘：向量可以与标量相乘，在这种情况下，向量的每个分量都可以与标量相乘。
在图形上，这意味着将向量的模数相乘：
乘以一个标量也有一定的性能：让U; V; W向量和k; l标量：
关联 K٠（l٠U）=（k٠l）٠U
分布 k٠（U + V）= k٠U + K٠V
（k + l）٠V = k٠V + l٠V
中性元素1 ٠W = W
向量空间
我们习惯将线上的点表示为实数；平面中的一个点为有序对，而三维空间中的一个点为有序三重或三重。但是，如果我们将一组有序数（a 1； a 2； a 3； a 4）识别为三维空间中的一个点，即使无法在三维空间中进行几何构想，也可以通过考虑属性来理解它。分析数字而不是几何属性。
甲矢量空间是但非空集合正矢量的分类适形特性密切和上述用于总和和所述由比例乘法河 它由R n表示，并分类如下：
R 1 =一维空间，实直线。
R 2 =二维空间，有序对。
R 3 =三维空间，有序三元组。
R n = n维空间，有序n-adas。
Closure属性：它定义了在操作集合的两个元素时，结果必须属于该操作中分配的集合。
让U; V; 属于R n和k的W个向量；l标量：
封闭性的总和V + w ^ Є ř Ñ
交换性质 v + w = w + v
关联属性 （v + w）+ u = w +（v + u）
中性元素 v + 0 = v
对面元素 v +（-v）= 0
封闭性为乘以一个标量k0W Є ř Ñ
关联 K٠（l٠U）=（k٠l）٠U
分布 k٠（U + V）= k٠U + K٠V
（k + l）٠V = k٠V + l٠V
中性元素 1 ٠W = W
标量产品：标量产品；（点积或欧几里得内积）是向量之间定义的一种乘法，对实际问题的应用非常有用，因为它为向量之间的运算赋了实数值，并且定义如下：
它也根据其笛卡尔分量定义。
UV⋅= U 1 ⋅v 1 + U 2 ⋅v 2
类似地将其扩展到向量空间R n。
向量的叉积：是为向量空间R 3定义的一种乘法，广泛用于解决需要定义一个与其他两个向量垂直（正交）的向量的问题。
设v =（v 1; v 2; v 3）和u =（u 1; u 2; u 3）属于R 3的向量
乘积vxu是属于R 3的向量，并且与“ v”和“ u”垂直，可以使用右手定则确定其含义：
它是通过形成一个矩阵来确定的，该矩阵的第一行是第一矢量的分量，第二行是第二矢量的分量，然后所得矢量的每个分量都是该矩阵的行列式，该矩阵的确定因子是通过在形成的矩阵中抑制与通过更改第二个组件的符号来寻找所需的组件：
一些矢量应用程序：
由两个向量形成的角度 θ可以通过组合标量积的公式来计算，其表达式如下：
考虑到将点P 1（x 1； y 1； z 1）与点P 2（x 2）连接起来的向量，可以使用向量v = x 2 + y 2的模块公式确定两点之间的距离。; y 2; z 2）作为向量OP 2 -OP 1之间的差
R 3 v（v 1; v 2; v 3）和u（u 1; u 2; u 3）中不平行边缘被视为向量的平行四边形的面积可以计算为两个向量之间的叉积模量三角形的面积减半
线性组合：如果存在实数k 1，k 2，…k n，则向量“ v”是矢量空间R n中向量v 1，v 2，v 3，…，v n的线性组合。这样“ v”可以表示为：
V = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +…+ k n v n
要检查向量“ x”是否为v，u，wєR 3的线性组合：
提出了以下线性方程组的齐次系统：
k 1 v + k 2 u + k 3 w = x
k 1（v 1; v 2; v 3）+ k 2（u 1; u 2; u 3）+ k3（w 1; w 2; w 3）=（x 1; x 2; x 3）
ķ 1 0V 1 + K 2 0U 1 + K 3 0瓦特1 = X 1 ķ 1 0V 2 + K 2 0U 2 + K 3 0瓦特2 = X 2 ķ 1 0V 3 + K 2 0U 3 + K 3 0瓦特3 = X 3
如果系统有解，则向量x是v，u，w的线性组合。
线性相关性和独立性：可以说向量v 1，v 2，v 3，…，v n是线性相关的，如果这些向量存在无限线性组合，则得出向量0。
如果给出该结果的唯一线性组合是其中k 1 = k 2 =…= k n的线性组合，则可以说向量是线性独立的。
0 = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +…+ k n v n
示例：检查向量v，u，w和R 3之间的线性相关性：
提出了以下线性方程组的齐次系统：
k 1 v + k 2 u + k 3 w = 0 k 1（v 1; v 2; v 3）+ k 2（u 1; u 2; u 3）+ k3（w 1; w 2; w 3） =（0; 0; 0）
ķ 1 0V 1 + K 2 0U 1 + K 3 0瓦特1 = 0 K 1 0V 2 + K 2 0U 2 + K 3 0瓦特2 = 0 K 1 0V 3 + K 2 0U 3 + K 3 0瓦特3 = 0
如果该系统仅具有平凡解，则向量是线性独立的。如果您有无限解，那么它们是线性相关的。
产生的向量空间：可以说向量v 1，v 2，v 3，…，v n产生一个向量空间V，如果可以将所述空间的任何向量“ b”写成给定向量的组合。
b = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +…+ k n v n
向量空间的底数和维数：一个免费的向量系统，可以生成其向量空间的所有向量，是一个底数。
每个向量空间至少有一个底数。
向量系统基础的元素数量称为向量空间的维数。
例如：向量（0,0,1），（0,1,0）和（1,0,0）是通常在三维空间中使用的基础。
线性变换
线性变换是向量变量w = f（v）的向量函数。
其中：→向量空间“ v”是自变量
→向量空间“ w”是因变量
如果V和W是向量空间，并且F是一个函数，该函数将W中的唯一向量与V的每个向量相关联，则可以说F将V应用于W并写为：F：V → W
此外，如果我们写w = f（v），则说w是v在f下的像。
定义。线性变换的定义表示，如果V和W中的每个矢量空间都满足总和T（u + v）= T（u）+ T（v）下的分布公理和乘以，则可以进行线性变换。标量T（K 0 U）= K 0 T（U） 。满足以上要求，线性变换具有以下特性：
- T（0）= 0T（-v）=-T（v）T（vu）= T（v）-T（u）
