时间序列计量经济学分析中的协整

这项工作旨在以相对基本的方式介绍时间序列计量经济分析的重大进展。为此，着重强调了该方法的实际使用及其在分析一些有关秘鲁经济政策的有关问题时的应用。演讲将分为六个部分。在引言中，根据所谓的“虚假回归”和“动态规范”问题，以及计量经济学的答案，证实了对时间序列方法的理论关系，对协整方法进行了论证。

协整自回归向量和参数的稳定性-1

第二个重点关注系列的集成水平的概念以及其是否表示为平稳过程的统计检验。在第三部分中，将介绍协整方法本身及其作为纠错机制的表示。第四部分通过介绍秘鲁案例的估计应用来说明此技术。值得一提的是，此处给出的结果并未包含有关所解决问题的明确结果，而是构成了对该主题的初步探索，应视为所提出方法的例证。在第五部分中，介绍了自回归向量及其工具化的方法，分析方差的脉冲响应和分解函数；还分析了VAR系统的协整检验及其作为经济政策评估者的用途。最后，提出了从研究中得出的结论，这些结论仅构成探索性的时间序列方法。

本文旨在以相对基本的方式介绍时间序列计量经济分析的重大进展。为此，强调了该方法的实际使用及其在分析一些有关秘鲁经济政策的有关问题时的应用。演讲将分为六个部分。在引言中，根据所谓的“虚假回归”和“动态规范”问题，以及计量经济学的回答，证实了对时间序列方法的理论关系，对协整方法进行了论证。第二个重点关注系列的集成水平的概念以及其是否表示为平稳过程的统计检验。在第三部分中，将介绍协整方法本身及其作为纠错机制的表示。第四部分通过介绍秘鲁案例的估计应用来说明此技术。值得一提的是，此处给出的结果并未包含有关所解决问题的明确结果，而是构成了对该主题的初步探索，应视为所提出方法的例证。第五部分介绍了自回归向量的方法及其工具化，分析了方差函数的脉冲响应和分解。还分析了VAR系统的协整检验及其作为经济政策评估者的用途。最后，提出了从研究中得出的结论，这些结论仅构成对时间序列进行处理的一种探索性方法。

介绍。

众所周知，计量经济学中通常使用的大部分程序都基于线性回归，并进行了多种修改。如果满足某些假设，则这些程序具有足够的属性；本文将要修改的假设是输入要估计的关系的序列的平稳性。

如果时间序列的分布随时间恒定，则该时间序列是固定的。对于许多实际应用而言，考虑所谓的弱平稳性就是足够的，也就是说，当序列的均值和方差随时间恒定时。当具有趋势时，在计量经济学中分析的许多时间序列均不满足此条件。

很长时间以来，人们就知道，如果不满足这一假设，就会出现严重的问题，因为两个完全独立的变量在回归中可能显着地相互关联，这仅仅是因为它们都具有趋势并随着时间而增长。; 这些案例已由Granger和Newbold（1974）以“虚假回归”的名称普及。

为了说明这个问题，可以考虑两个变量X和Y，在每个周期中构造该变量，方法是将前一个周期的变量值相加，这是一个具有正态分布，均值为零且具有一定方差的随机变量：

X _t = X _t-1 + e _t e _t〜N（0，s _e ²）。

Y _t = Y _t-1 + h _t h _t〜N（0，s _h ²）。

并独立生成两个变量的随机项。在时间序列计量经济学文献中，以此方式构造的变量称为“随机游动”，是非平稳变量，其均值和方差与观察期成正比。

根据此模型为240个观测值生成变量，其中e _t和h _t的方差为2和3，X的初始值为1000，Y的初始值为12500，每个构造获得两个独立的序列，但随着时间的推移趋势有所增加; 在两者之间进行线性回归是：

X _t = -20560 + 1.7270 Y _t R ² = 0.4903 DW = 0.07695

（-14.28）（15.01）

对这个结果的一个非常普遍的解释是，变量显着相关，但是R ²的低值表明该方程式缺少其他变量，而缺少这些变量又说明了Durbin-Watson系数的低值。;另一个解释可能是方程的动态结构不正确，可以尝试使用变量的滞后，使用滞后引入其他变量或使用广义最小二乘估计技术来考虑变量的自相关来校正方程。等式的残差。回想一下，变量是独立的，但会随着时间而增加。

这是一个非常常见的结果，前面的示例是对模拟分析技术“ Monte Carlo”的说明。Granger和Newbold使用此技术来研究非平稳变量之间的回归特性。最近对该问题进行了理论分析，表明在某些非常普遍的条件下，回归的主要属性

X _t = a + bY _t

以下是非平稳变量：

系数的``t''统计量的分布是发散的，因此对于显着性检验没有渐近正确的临界值。提及的值随样本量的增长而增长。回想一下，在平稳变量之间进行回归的情况下，“ t”统计量的分布会收敛为正态分布，因此，它们不会随样本量的增长而增长，系数不一致。; a *为a的OLS估计量，而b * b的OLS估计量在一点处收敛为非集中分布。为了进行比较，在平稳变量之间进行回归的情况下，系数a *和b *的分布收敛为一种分布，该分布将所有概率集中在参数的真实值上。即使回归随机项不呈现自相关和R的分布，Durbin-Watson统计量也趋于零。²收敛到一个非集中分布。所有这些与固定变量的通常结果相反。

在多元回归的情况下获得类似的结果。

这些结果使非平稳序列之间的回归方程的估计令人怀疑。 Granger和Newbold的第一个建议是后来的许多分析家提出的建议，它们是对t值统计使用更具限制性的显着性值，正如我们所见，由于t值随着样本;或通过微分，提取线性，指数或多项式趋势或将原始序列的ARIMA模型估计残差用作回归来将序列转换为平稳序列，这使得在变量的长期关系上丢失了信息，这些关系在许多情况下是分析的主要对象。因此，格兰杰和纽博尔德的第一批建议不足以解决这个问题。 “更好的程序是找到显示变量之间的关系何时是“伪”的，或者如果不是的话，则显示估计参数的统计特性是什么的程序。

最近，人们投入了很多精力来分析回归方程的性质，这些回归方程的变量比平稳的更为固定，但对其分布却有某种限制。非平稳变量的一种特殊情况是所谓的综合变量。

如果时间序列X _t可以表示为，则称它是d阶的积分（X _t〜I（d））：

（1-L）^d A（L）X _t = B（L）e _t

其中L是滞后算子：LX _t = X _t-1，A（L）是L中的阶p的多项式，表示级数的自回归程度：

A（L）X _t = X _t -a ₁ X _t-1 -a ₂ X _t-2- …-a _p X _t-p

B（L）是L中的q阶多项式，表示该系列对一系列独立随机项的移动平均值的依赖性：

B（L）e _t = e _t -b ₁ e _t-1 -b ₂ e _t-2- …-b _q e _t-q

并且A（L）和B（L）的所有根都在单位圆之外（它们的绝对值大于1）。换句话说，X _t是具有平稳且可逆过程的ARIMA（p，d，q）。在这些条件下，自回归部分的绝对值的最小根为1，并且该级数具有d单位根或I（d）。固定序列为I（0），先前使用的“随机游动”为I（1）。

系列I（0）的线性组合为I（0），系列I（1）的线性组合通常为I（1），非常重要的一个例外是协整系列的线性组合为I（0），我们将看到稍后详细介绍。这也表明，综合序列不能由固定序列充分地表示，例如，一系列就业水平不能仅仅由相对价格的组合来充分表示；同样，固定序列通常不能表示为积分序列的函数。

最近的研究表明，非平稳经济序列的很大一部分是I（d），其中许多是I（1）。这导致对序列I（d）的回归的统计特性以及时间序列具有单位根的证据进行了大量研究，使用了序列为平稳或序列为零的假设。它的根少于统一，因此与单位根的差异甚至更大。特别重要的是寻找积分序列的平稳线性组合，这称为串联协整的情况。

协整方法与纠错机制的联系调和了经济学研究中的两种不同观点：一方面，专注于长期关系的经济学理论家强调了经济学的丧失。有关差异分析中涉及的这些关系的信息；另一方面，时间序列的从业者由于缺乏关于过程的短期动态的信息而无视那些理论关系，因此他们仅限于这种动态的表示。从这个意义上讲，在所谓的两阶段程序中，协整方法既保留了将信息保留在各个层次中的可能性，又保留了数据对其表示形式进行参数化的可能性，我们可以克服动态规格和伪回归的问题。这样，利用误差校正机制所包含的动力学来补充协整方程的长期均衡关系的可能性，强调了协整方法作为计量经济学答案的重要性，以此来证实关系时间序列表示的理论方法。作为对时间序列表示方法理论关系的佐证。作为对时间序列表示方法理论关系的佐证。

单位根

如前一节所述，具有固定根的非平稳时间序列是非平稳序列的一个非常特殊的情况，无论是从经济学上的发生频率还是从其统计特性方面而言都是众所周知的。近年来，已经做了很多工作来设计一系列具有单位根的假设检验。本节将介绍其中一些测试。应该注意的是，对目前设计的测试进行详尽的介绍并不是问题，而只是显示最常用的测试。同样，与本文的其余部分一样，由于它是受欢迎的文章，因此完全省略了证据，将感兴趣的读者引向相关文献。

出现的理论上的统计问题是分布中存在不连续性，作为a取1值时的函数，对于其他值，通常在大样本中可以使用``t''和``F''分布，但是对于这个特殊的值，有必要寻找新的分布。

已开发的单位根测试取决于该系列生成的基本模型。最简单的方法：

x _t = _轴t-1 + e _t

原假设的形式为Ho：a = 1。

对该假设进行了几次分析，使用的方法略有不同，并得出不同的检验，这通常取决于所获得的检验是否属于似然关系类型（在原假设和替代假设下的模型估计，以及基于在两种情况下，似然函数对数的对数值的差），拉格朗日乘数（原假设下的估计并基于该假设的变化进行检验）或沃尔德（备择假设下的估计和基于向原假设的运动进行检验）。

Evans和Savin（1981，1984）开发了一个拉格朗日乘数检验，该检验在假设a = 1的情况下，找到了*的分布，即*的最大似然估计量。他们通过数值方法计算归一化分布（（T /Ö2）（a * -1））的值，并提供该分布的图形和表格。然后，他们的方法是通过最大似然估计x _t = ax _t-1 + e _t（如果可以维持e _t正常，则为普通最小二乘法），计算（（T /Ö2）（a * -1））并查阅他们提供的表格。

Phillips（1987）指出，此程序经过较小的修改，即以考虑到e _t可能自相关的因素校正Evans和Savin的表达，并以ARIMA形式（p ，1，q），甚至对出现外生变量的模型，只要这些变量可以类似的方式表示且没有单位根即可。无需估计ARIMA模型或带有外生变量的类似物，甚至无需知道自回归和移动平均多项式的阶数，就可以应用这些测试。

Dickey and Fuller（1979,1981）提出的似然比检验比Evans和Savin的检验模型更一般：

x _t = m + bt + ax _t-1 + e _t

其中m是所谓的漂移系数，b是系列的趋势。在这种情况下，e是白噪声（随时间变化的独立过程，均值为零且方差恒定）。他们提出了各种假设检验：

m = b = 0，与Evans和Savin处理的情况相同。他们用两种不同的方式来对待它：首先，他们通过从等式两边减去x _t-1来变换等式，从而得到：

Dx _t =-（1- a）x _t-1 + e _t

在单位根存在的零假设下，x _t-1的系数必须为零。富勒（Fuller，1976）提出了一个在原假设下该系数分布的表格。另一方面，Dickey和Fuller分别对零假设m = 0和b = 0以及它们与a = 1的原假设检验进行了估计，以估计该替代假设下的模型：

x _t = m + bt + ax _t-1 + e _t

并获得m和b的系数“ t”的分布以及完整假设的似然比。

m¹b = 0给出与先前情况相同的处理，通过变换，可以得出满足零假设的事实等于Dx _t =-（1- a）x 的x _t-1系数_t-1 + e _t等于零，可以使用富勒表（1976）进行该假设的检验。另一方面，可以通过估计替代假设下的回归并使用Dickey和Fuller（1981）的表来对整个假设和变量的特定系数进行检验。

第三种情况也是如此：m¹0，b¹0现在辅助方程为：

Dx _t = am + b（1- a）+ bat-（1- a）x _t-1 + e _t

Dickey和Fuller将其测试扩展到其中e遵循p阶自回归过程的情况，该测试称为Dickey和Fuller Augmented，它包括估计上述辅助方程式，并增加Dx值的滞后。Phillips（1987）也将Dickey和Fuller的结果扩展到了更通用的平稳模型。

但是，应该指出的是，在移动平均过程中系数非常高的过程提出了有关这些测试功效的特殊问题。

另一种常用的检验是Sargan和Bhargava的检验，该检验基于变量的滞后值回归的Durbin-Watson检验的值，分布不是Durbin和Watson所发现的，而是一个Sargan和Bhargava找到并计算。

A）迪基检验-富勒（DF）.-迪奇和富勒发现，可以通过从m _t = rm _t-1 + n _t的两边都去除am _t来获得以下问题，从而简化问题：Dm _t =（r-1 ）m _t-1 + n _t

Dm _t = lm _t-1 + n _t

当原假设现在为H ₀：l = 0且替代假设为H ₁：l <0时。虽然这种转换有助于解决分布问题，但统计检验并不遵循传统的分布，必须通过广泛的蒙特卡洛实验确定用于评估统计检验的临界值。

B）扩展Dickey-Fuller检验（ADF）。- Dm _t = lm _t-1 + n _t的自回归过程非常简单，并且考虑到更复杂的动力学，Dickey和Fuller提出了基于平稳性的检验扩展方程：

Dm _t = a ₀ + a ₁ t + lm _t-1 + Sb _j Dm _t-j + n _t

其中j = 1，… m，a为_0时考虑了方向，t为时间的线性趋势。

大多数理论文献和实证研究都对以下情况感兴趣：要研究的变量为I（1），并且在一个时期内仅考虑两个变量，但是在多变量协整和为单位根与协整而开发的测试（请参阅Engle和Granger 1991）。

C）Phillips-Perron单位根检验（PP）.- Phillips和Perron开发了另一种单位根检验。像ADF检验一样，PP检验是对等式中p = 1的假设检验：∆Y _t = ∆b + pY _t-1 + ∆ _t；但是与ADF测试不同，没有延迟的差异项。而是由OLS估算方程，然后校正p系数的“ t”统计量。如果t-学生值与Y _t-1的系数相关联，则Phillips-Perron检验的零假设H ₀是具有趋势的单位根轨迹，而备选方案是具有趋势的平稳性。如果绝对值大于MacKinnon的临界值，则可以拒绝单位根存在的假设。D）Zivot和安德鲁斯测试-Zivot和安德鲁斯（1992）.- Zivot&Andrews开发了一种在结构发生变化时将单位根路径与固定根路径区分开的检验，因为传统的ADF和PP检验偏向于不拒绝单位根的零假设，因为替代平稳性假设经常被错误地拒绝。零假设是存在具有趋势的单位根，而存在具有趋势和结构变化（在水平和/或斜率）的平稳性。 Zivot和Andrews提出了一方面绘制Zivot分布轨迹到t的图，另一方面绘制了关键t分布的值的图。如果t-Zivot值小于临界值（VCRIT），有足够的统计证据拒绝单位根的零假设，因此评估的序列显示单位根的轨迹。相反，如果t Zivot值的分布大于临界t，则没有证据可以拒绝单位根的零假设（非平稳性）。

Perron（1989）认为，当结构发生变化时，传统的单位根测试（Dickey-Fuller，Augmented Dickey-Fuller和Phillips-Perron）几乎没有能力将单位根路径与静止的根路径区分开。因此，由于这些检验偏向于不拒绝单位根的零假设，因此通常会错误地拒绝平稳性的另一种假设。例如，佩伦发现，纳尔逊和普洛瑟（1982）使用的一系列宏观经济和金融总量在结构变化的情况下基本上是静止的，这与上述作者指出的相反。按照这一思路，Zivot和Andrews（1992）开发了一种测试，其中断点的日期是内生确定的。

E）Hodrick-Prescott过滤方法.-根据这种方法，有必要找到最小的序列Y * _t（趋势）：（Y _t -Y _t *）² + l（DY _t -DY _t *）²系列Y _t*等于势变量，l为平滑参数，在一个平稳序列中，趋势几乎平行于X轴Hodrick-Prescott滤波器可能是确定平稳序列趋势的最常用方法，但是，它受到了各种批评。这些包括以下事实：对平滑参数的事前确定取决于研究人员的判断力；一系列趋势的极端情况定义不佳，并且会在数据中引起虚假的周期性行为。但是，该方法代表了一种模式，可以将其与固定序列的其他估计方法进行比较。

由于存在可能出现的结构性断裂，因此一系列实际货币记录了不稳定的行为。

这些测试的使用示例将出现在本文的第五部分。

协整方程和纠错机制。

据说的时序x的向量_吨顺序d，B的共整合（X _吨〜CI（d，b））的，如果，作为所有系列载体的〜I（d），存在系数的向量一个，使得z = a'x〜I（d -b），b> 0。特别是，如果N = 2且d = b = 1，则对于序列x _t和y _t为I（1），尽管通常它们的任何线性组合为I（1），但如果存在a使得z _t = x _t -a且_t为I（0），它们是1阶协整，而Cointegration a的参数是唯一的。

然而，事实证明这线性组合是I（0），即使是一系列单独I（1），换句话说，是Z _吨，相以X _吨耶_吨分别具有部件主波long表示a使得y _t和ax _t的大部分长期分量相互抵消。另一方面，当从经济理论推论趋于将x _t yy _t保持在一起的力的作用以及它们之间存在长期平衡关系时，则意味着x _t yy _t它们不能相距太远，用平衡误差z _t的特性表示，意味着e必须是固定的。因此，积分阶数的这种减小使得z _t为I（0）似乎是假设x _t和y _t之间平衡关系的统计可能性的条件。或用对z _t的随机游走表示的假设检验来表示，估计的平衡将是艰巨且无关紧要的。

事实证明，在x _t和y _t之间进行协整测试与对z _t进行平稳性测试没有什么不同；更确切地说，为了测试这些序列的非协整零假设，您要做的就是测试z _t的随机游走表示的零假设。因此，为此，显而易见的方法流程是使用普通最小二乘法运行协整回归x _t = C + a和_t + e _t，并应用一些单位根检验。应该注意的是，变量之间协整的症状是R ^2的值较高伴随着Durbin和Watson统计数据的数值不是很低（根据Sargan和Bhargava检验）。

Granjer和Engle（1987）表明，在协整的情况下，普通最小二乘法对方程的参数产生一致的结果（更好的是，超一致的，因为参数倾向于形式为它们的真值）与观察值的数量成反比，而不是与观察值的平方根成反比（与固定序列的通常情况一样），它们还表明，通常的假设检验无效。他们还表明，在两个变量的情况下，协整方程是从条件上确定的（在计量经济学上不是在时间序列上），条件是它是唯一具有有限方差的线性组合。在多个变量的情况下，可能存在不同的协整关系，因此有必要引入其他识别标准，通常是通过排除经典情况下的变量。

关于Dickey和Fuller以及扩展的Dickey和Fuller测试，再次使用非标准的“ t”表来拒绝单位根的假设以利于平稳性。但是，应该强调的是，在协整向量中具有两个以上变量的情况下，在这种情况下a不一定是唯一的，以至于可能存在多个平衡关系，现在``t''统计量的临界值现在是相应地高。另一方面，关于Sargan和Bhargava检验，与验证单位根存在的方式相同，回归的DW x _t = c + u _t显着大于零，因此可以拒绝以下假设： X _Ť如果是随机游走，则在检查“协整”时，“协整回归”的DW（记为CRDW）显着大于零，这可以否定没有“协整”的假设。

最后，将从统计的角度和方法论的角度来考虑协整与纠错机制之间的联系，首先是关于所谓的格兰杰表示定理，其次是所谓的恩格尔和格兰杰两阶段程序（2EEG）。现在，在介绍这一点之前，应该记住，一个纠错机制假定在随后的一个周期内纠正了一个周期的不平衡部分，并且这种模型将变量的变化与过去的均衡误差和两个变量的过去变化。因此，该定理的含意是协整级数具有纠错机制的表示，反之，纠错机制产生协整级数；换句话说：如果x_t和_t是I（1），没有均值趋势，并且是协整的，始终存在以下形式的纠错机制：

x _t = -g ₁ z _t-1 + A ₁（L）x _t + B ₁（L）和_t + D ₁（L）h _1t

y _t = -g ₂ z _t-1 + A ₂（L）x _t + B ₂（L）y _t + D ₂（L）h _2t

其中z _t-1是滞后一个周期的余量的协整方程，所有多项式滞后项的根都在单位圆之外。此外，必须将由纠错机制生成的数据进行协整（Granger，1986年）。

现在，在给定协整的情况下，由于进入等式的所有变量都是平稳的，因此不存在虚假回归问题的MCE表示形式的存在导致了Engle和Granger的两阶段方法。此过程非常简单，它仅包括通过普通最小二乘法在水平上执行回归，执行协整检验，然后估算误差校正机制，再由OLS估算，该机制包括如图所示，是协整方程的残差，而不是输入它的变量的水平项。通过这种方式，MCE上的协整方程给出的约束条件表示了理论上的长期均衡关系对短期动力模型的影响。实际上，然后，可以（并且应该）首先使用协整作为预测试，以避免虚假的回归情况，并且只有在拒绝非协整之后才按照滞后更改进行规范，以便使用纠错机制对z建模。因此，Engle和Granger程序可以生成短期预测，该短期预测与从经济理论得出的长期预测一致，为从简单时间序列分析得出的预测提供了有力的选择，并且此外，通过共同估算平衡关系和不平衡系统的行为，它可以将动态结构清楚地并入从经济理论得出的方程式中。

参数稳定性分析

OLS估计量在解释和预测经济变量中的作用从根本上取决于对MLG假设的实现。因此，完整的计量经济学分析必须验证没有任何指标对是否满足任何假设提出疑问。有两种公式可以查询不稳定性的存在，传统技术和递归估计。

传统技术基于断点日期已知的假设，并基于此假设执行了由Gregory Chow提出的众所周知的结构更改测试。该测试基于以ky（n-2k）自由度分布的费舍尔F对比度，如果F-Chow值小于具有适当自由度并在所选置信度下的表格值F，可以接受参数稳定性假设，但是如果计算的F-Chow值大于F-Fisher表格值，则无法接受总体参数显着相同的假设，因此，可以假设参数不稳定。

因此，通过Chow检验，可以根据确定的日期评估在所分析的函数中是否表现出了结构上的变化。

通过递归估计器，可以通过使用统计测试（例如，递归残差测试和CUSUMSQ测试）来检测上述计量经济学问题的存在。对应于观测值t的递归残基定义为内生变量的观测值与其预测值之差，注意到在稳定的零假设和正态假设下，递归残基W _n具有具有与种群残差U _n相同的特征，因此得出结论，这是一个很好的估计。如果W _n的值它在其轨迹的时间范围内没有系统地改变，因此得出结论，估计的模型中没有不稳定性的证据。

同样，CUSUMSQ检验（残差的总和的平方）试图避免因因果关系接受稳定性假设的局限，这种情况可以在先前的检验中提出，作者（Brown，Durbin和埃文斯（Evans）提出了一种对比，该对比包括绘制W _n的时间序列以及限制置信带的线：E（W _n）±C _或从CUSUM统计表获得C _o的临界值的情况。同样，如果W _n在带外，则模型同质性假设被拒绝。将观察到算法W _n是具有单位限制的单调递增函数，遵循具有参数（s-k）/ 2和（n-s）/ 2的beta分布；希望E（W _n）=（s-k）/（nk）。

例子

本节介绍了先前方法的应用。值得一提的是，该插图仅是说明性的，它们是作者正在开发的更完整作品的一部分。

汇率

可以预料，官方汇率与平行汇率之间将存在长期关系，如果不存在这种平行关系，将会给在市场上买卖的人带来无限的获利机会。

在本练习中，我们将使用1980年1月至1999年12月这两种汇率的月度数据。

第一步是研究两个系列中单位根的存在。为了减少其他异方差问题，我们使用了变量的对数。

一般过程包括五个步骤：

-系列的单位根测试。

-估计协整比。

-协整测试。

-纠错机制的估计。和，

-此方程的统计检验。

应用Evans和Savin检验，单位根有：

可变系数检验意义

平行1.003294 0.5590 0.85

官方1.003388 0.5749 0.87

可以看出，基于该检验，不可能拒绝两个系列中存在单位根的假设。

应用Sargan和Bhargava检验可获得相似的结果：

杜宾-沃森变量意义

平行0.00177> 0.10

官方0.00029> 0.10

应用迪基和富勒测试，我们有：

可变系数t的意义

平行0.00329 5.9842> 0.10

官方0.00339 33.160> 0.10

在该检验中，系数为正，这表明不能拒绝单位根假设，并且可能存在多个假设。在无法拒绝单位根的假设的所有情况下，都应用了其他Dickey和Fuller检验，结果。在这两种情况下，均拒绝了非随机趋势和漂移的假设。剩下的假设是具有单位根的过程。

将相同的检验应用于序列差异，以检验两个单位根的假设。对于平行汇率，使用任何检验都非常清楚地拒绝了该假设。对于官方汇率来说，情况还不是很清楚，这一假设被否定了，但被否定了。

总之，这两个系列是I（1），可以应用第三节的方法来查看它们是否为协整变量。

协整方程为：

平行= 0.056611 + 0.990999 *官方+ e R ² = 0.99284 DW = 0.20476

或者：

官方= -0.027624 + 1.001856 *并行+ e R ² = 0.99284 DW = 0.20328

这两个方程非常接近彼此相反，根据恩格尔和格兰杰的说法，这是协整的一个征兆，这表明事实是，解释变量的系数的乘积，在这种情况下为0.9928 ，非常接近团结。

应用Sargan和Bhargava检验，根据Engle和Yoo（1988）发布的表，该检验的临界值为1％为0.29、5％为0.2和10％为0.16，因此可以拒绝。零假设，无协整或协整方程残差中单位根的存在相同（至少为5％），使用两个方程式中的任何一个都可以得出相同的结果。

其他测试是将Dickey和Fuller应用于回归残差，对于平行汇率，我们获得：

更改残差= -0.103217 *残差（-1）+ j

（-3.50105）

这些表显示为系数``t''的临界值：-4（1％），-3.37（5％）和-3.02（10％），就像先前的测试一样，可以拒绝非协整的假设含量至少为5％。如果将协整方程视为官方汇率作为因变量的方程，则会发生类似的情况。其他协整测试也是如此。

如第三节所示，与协整方程相关联的是一种纠错机制，其中协整变量的变化与协整方程的残差以及可能的滞后值相关联。变量的变化以及未输入协整方程的其他变量的变化。由于变量是每个月的序列，因此每个变量最多使用十二个滞后，因此可以估算表1中所示的误差校正方程。

表格1

并行交换率（CTPAR）中的纠错方程D

变量滞后t统计系数的意义

常数0 -0.004531 -0.935198 0.3496860

残基1 -0.080057 -2.280963 0.0225506

ctpar 1 -0.135146 -1.823069 0.0682929

ctpar 2 -0.143257 -1.916368 0.0553183

氯化钙3 -0.128595 -1.719982 0.0854357

ctpar 4 -0.282954 -3.788447 0.0001516

ctpar 5 -0.044578 -0.578704 0.5627889

ctpar 6 0.000977 0.012698 0.9898690

氯化钙7 0.047242 0.616075 0.5378450

ctpar 8 -0.017708 -0.229811 0.8182390

ctpar 9 -0.102966 -1.399052 0.1617970

ctpar 10 -0.767432 -1.049615 0.2938950

ctpar 11 0.542212 0.758402 0.4482100

ctpar 12 0.145937 2.069835 0.0384670

Ctof 1 1.785215 2.271580 0.0231120

Ctof 2 -0.232684 -0.202017 0.8399030

Ctof 3 -1.272581 -1.088481 0.2763830

Ctof 4 2.186517 1.852417 0.0639660

Ctof 5 -0.895971 -0.750444 0.4529870

Ctof 6 1.172320 0.983896 0.3251660

Ctof 7 -1.866239 -1.573436 0.1156180

Ctof 8 0.880443 0.740438 0.4590340

Ctof 9 0.034644 0.029335 0.9765980

Ctof 10 1.096212 0.936424 0.3490540

Ctof 11 -0.886466 -0.769352 0.4416480

Ctof 12 -0.094025 -0.119790 0.9046500

R ² 0.3029 Q = 44.82

可以看出，协整方程的残差系数为负且显着，这构成了两个变量之间存在协整的另一个证明，负号表示当平行汇率远时在一个时期内的平衡方程中，有力使其在下一个时期趋于该方程。R ²的值它很低，这表示，如果您想要一个更好地解释变量行为的方程，则需要在模型中引入与已合并变量不同的变量；Q统计量（Box-Ljung）的值表明，不能拒绝残差为白噪声的假设。通常，在这些练习的第一阶段都会产生许多有意义的变量，重新估计方程式，消除这些变量，即可获得表2的结果。

表2

并行交换率（CTPAR）中的纠错方程D

变量滞后t统计系数的意义

常数0 -0.004482 -1.021553 0.306993

废物1 -0.086511 -2.640473 0.008279

ctpar 1 -0.126847 -1.929663 0.053653

ctpar 2 -0.160104 -2.510814 0.012045

ctpar 3 -0.156908 -2.479135 0.013170

ctpar 4 -0.263093 -4.244920 0.000022

ctpar 12 0.170443 2.784201 0.005366

Ctof 1 1.757943 5.854069 0.000000

R ² 0.2594 Q = 43.8533

该表显示了令人满意的结果，所有变量都非常显着，平行汇率连续四个滞后进入，滞后阶数为12（反映该过程的季节性），官方汇率进入滞后，并且当然，是通过纠错机制实现的。

表3

官方汇率（CTOF）中的纠错方程D

变量滞后t统计系数的意义

常数0 0.000808 1.950051 0.051170

残留物1 0.002358 0.867466 0.385687

ctpar 11 0.016669 3.069838 0.002142

ctpar 12 0.009784 1.755329 0.079203

Ctof 1 1.010398 5.278560 0.000000

Ctof 2 -0.148142 -2.218871 0.026495

Ctof 12 0.061952 1.965018 0.049412

R ² 0.8816 Q = 52.9424

表3显示了一系列官方汇率的相同练习的结果，如上所示，该系列比以前的系列具有更大的惯性，以至于可以怀疑它是系列I（1）还是系列I。 I（2），这也解释了该方程式中R ²的高值。正如预期的那样，残差系数为正，但并不显着，这表明官方汇率通过纠错机制影响平行度，但相反情况并未发生。但是，并行确实会更直接地影响军官，尤其是在该系列的季节性部分。

Granger表明，如果存在协整，因此存在纠错机制，则在Granger意义上也存在因果关系，至少其中一个变量会导致另一个，就这一点而言，将其考虑在内有助于提高质量。其他变量的说明。在这种情况下，官方汇率导致了格兰杰意义上的平行，但并非相反。

结果表明，美元的并行市场不是有效的市场，因为它使用了所有可用的信息；如果是这样，并行汇率将是一个随机游动，该系列的过去将不包含任何有关以下内容的信息：系列的变化，以前的结果表明可以拒绝。

七。自回归向量方法（VAR）的仪器化。

在本文的这一部分中，我们将分析与自回归向量（VAR）的估计和使用相关的技术细节，尤其是在非平稳时间序列的管理中，这对于分析不同时间序列之间的相互关系很有用。该建议书的基本目标是提供一种建模策略，通过避免对传统计量经济学模型进行识别时所施加的慷慨约束，可以尽可能地反映出经验规律性和所分析变量之间的相互作用。

当有多个系列时，有必要考虑它们之间的相互依赖性。一种方法是估算联立方程模型，但所有变量均存在滞后。该模型被称为联立方程的动态模型。但是，这种表述涉及两个步骤：首先，有必要将变量分为两类：内生变量和外生变量；第二：必须对参数施加一定的限制才能实现识别。为了克服这个问题，提出了“自回归向量”的使用，这仅仅是将自回归AR（p）模型推广到多个时间序列。

自回归向量为相互关联的时间序列变量系统提供了一种成功的预测技术，其中每个变量都有助于预测其他变量。尽管在分析不同类型的干扰和偶然控制对变量系统的动态影响方面存在很大争议，但VAR也经常被使用。 VAR是一个变量系统，它使每个内生变量成为其自身过去和系统中其他内生变量过去的函数。估计的动态交互作用的研究是VAR模型用户的基本动机之一，实际上，这些模型的典型用法反映了这种动机。这样的用途是冲激响应函数的计算和预测误差方差的分解。估计模型的动态含义显然将取决于扰动矩阵中反映的当代相关结构。解释如何进行这种合并，VAR估计的计算，脉冲响应函数以及预测误差方差的分解将是以下部分的研究对象。由于可以使用普通最小二乘（OLS）方法，因此VAR模型的估算更加容易。整个论述基于克里斯托弗·A·西姆斯（Christopher A. Sims）的著作《宏观经济与现实》（Macroeconomics and Reality，1980）和《宏观计量经济学VAR：A解释》（Macroeconometrics VAR：A解释）（1991）。估计模型的动态含义显然将取决于扰动矩阵中反映的当代相关结构。解释如何进行这种合并，VAR估计的计算，脉冲响应函数以及预测误差方差的分解将是以下部分的研究对象。由于可以使用普通最小二乘（OLS）方法，因此VAR模型的估算更加容易。整个论述基于克里斯托弗·A·西姆斯（Christopher A. Sims）的著作《宏观经济与现实》（Macroeconomics and Reality，1980）和《宏观计量经济学VAR：A解释》（Macroeconometrics VAR：A解释）（1991）。估计模型的动态含义显然将取决于扰动矩阵中反映的当代相关结构。解释如何进行这种合并，VAR估计的计算，脉冲响应函数以及预测误差方差的分解将是以下部分的研究对象。由于可以使用普通最小二乘（OLS）方法，因此VAR模型的估算更加容易。整个论述基于克里斯托弗·A·西姆斯（Christopher A. Sims）的著作《宏观经济与现实》（Macroeconomics and Reality，1980）和《宏观计量经济学VAR：A解释》（Macroeconometrics VAR：A解释）（1991）。解释如何进行这种合并，VAR估计的计算，脉冲响应函数以及预测误差方差的分解将是以下部分的研究对象。由于可以使用普通最小二乘（OLS）方法，因此VAR模型的估算更加容易。整个论述基于克里斯托弗·A·西姆斯（Christopher A. Sims）的著作《宏观经济与现实》（Macroeconomics and Reality，1980）和《宏观计量经济学VAR：A解释》（Macroeconometrics VAR：A解释）（1991）。解释如何进行这种合并，VAR估计的计算，脉冲响应函数以及预测误差方差的分解将是以下部分的研究对象。由于可以使用普通最小二乘（OLS）方法，因此VAR模型的估算更加容易。整个论述基于克里斯托弗·A·西姆斯（Christopher A. Sims）的著作《宏观经济与现实》（Macroeconomics and Reality，1980）和《宏观计量经济学VAR：A解释》（Macroeconometrics VAR：A解释）（1991）。整个论述基于克里斯托弗·A·西姆斯（Christopher A. Sims）的著作《宏观经济与现实》（Macroeconomics and Reality，1980）和《宏观计量经济学VAR：A解释》（Macroeconometrics VAR：A解释）（1991）。整个论述基于克里斯托弗·A·西姆斯（Christopher A. Sims）的著作《宏观经济与现实》（Macroeconomics and Reality，1980）和《宏观计量经济学VAR：A解释》（Macroeconometrics VAR：A解释）（1991）。

自回归向量方法。

VAR方法在某种程度上是对表征传统计量经济学模型的先验限制施加的响应：在联立方程组中，需要对其参数施加限制以保证识别和可能估计组成它的方程式。为此，此外，必须区分内生变量和预定变量，即那些值在当前期间不是由模型确定的变量。后者可以是外生的或内生的落后者。

VAR可以替代地表示一个联立方程组，其中每个变量由其自身的滞后以及系统中其余变量的滞后来解释。换句话说，先验限制是不允许的，所有变量都被认为是内生的。所包括的唯一先验信息是指每个等式中包含的解释变量的滞后次数。

但是，在操作上，正确的系统规格要求基于相关理论模型的知识来确定要包含在系统中的变量。VAR通常具有以下规范：

（1）Y _t = P _i Y _{t + i} + m _t

其中Y _t和Y _t-1是m ₁阶的向量（m是系统中的滞后数），P _i是m个方程式中解释变量的滞后i 系数的矩阵（m阶的平方）。

通过这种方式，可以看出，由于系统中包含了滞后，因此必须估计尽可能多的P _i矩阵。矩阵：（2）

Y _1t a _11（L） a _12（l） ... a _1m（L） Y _1t m _1t

Y _2t a _21（L） a _2m（L） Y _2t m _2t

。= 。。。。 + 。

。。。。。。

Y _mt a _ml（L） … a _mm（L） Y _mt m _mt

在此系统中：

（3）E = 0»j¹0

（4）E = S

可以看出，对系统的所有解释都是预先确定的（内生的落后）。此外，误差具有恒定的方差，并且不呈现自相关。因此，该模型的最佳渐近估计量是按等式应用的普通最小二乘（OLS）应用。实际上，建议：

1-清理任何类型的平稳序列中的每个序列。

通过MCO分别估算每个方程式2-

3-确定每个方程式中必须保留的解释变量的滞后次数。

为此，建议使用两种类型的检验：首先，使用块F检验来检验零假设，即每个方程中都应包含滞后数i作为解释，而不是替代数为i + r> i。

该测试存在必须将其分别应用于每个方程的问题，并且可以得出结论，每种情况下要包含在其中的滞后的数量是不同的。这会降低OLS估算器的效率；第二，方程组的最大似然检验。该检验的零假设是系统具有滞后数i，而替代方案是该数为j + r。统计员将是：

{T-C} * {log -S _i --log -S _{i + r-} }

哪里

log -Si- =具有i滞后的模型的方差和协方差矩阵的行列式的对数。

T =观察数。

C =每个方程式中无限制模型的参数：

{12（j + r）+1}

该测试以自由度等于系统{ 4（i + r）² } 约束数量的c ²分布。该测试几乎没有能力拒绝后续的滞后限制测试；因此，参照滞后必须是系统中具有最高值的滞后，即必须针对滞后（i + r）检验任何零假设。

由于每个方程变量之间存在很大的多重共线性，因此不应使用“ t”检验或不应该重视系数的符号。系数的大小是变量重要性的相对指标（较小的系数通常伴随着较小的显着变量）。

注意，使用该模型的缺点之一是其估计涉及计算m ² p系数，而不考虑S ²矩阵的系数。

VAR表示的另一种形式是使当前值的向量取决于当前值的变量和误差向量的无限滞后：

（5）Y _t = P _i L ⁱ Y _t + m _t

（6）Y _t = _吨

（7）A（L）Y _t = _吨

（8）Y _t = _吨 / A（L）

（9）Y _t = d + m _t + Y ₁ m _t-1 + Y ₂ m _t-2 +。…

其中（9）是MA（¥）表示形式。

这种表示形式可以进行转换，使得当前值是正交创新向量的当前值和过去值的函数：由于不必将误差（5）进行关联，因此习惯上将这个方程式与唯一的三角矩阵相乘（T），主对角线上有一个，对角线化误差协方差矩阵。因此，获得了具有正交误差的新模型：

TY _t = TP _i Y _t-1 + h _t

其中：h _t = Tm _t是正交创新的向量，D = TST。换句话说，对于每个实的，对称的和正的正矩阵S，在主对角线上有一个三角形矩阵P，在对角线上有单个对角矩阵D，对角线上有正项，使得：S = PDP'。

如果需要获得具有正交误差的新模型，则足以使T = P ^-1，使得：

E（^ h _吨 H ' _吨）= E（M _吨 M' _吨）

=是

= PDP´ ^-1

E（^ h _吨 H' _吨）= d

其中D是变换后的误差的方差和协方差矩阵，是对角矩阵，可以保证其正交性。从这个变换的模型中，可以获得估计的动态相互作用：正交化的脉冲响应函数，计算单位脉冲h _{t + s}对Y _{t + s} _的影响；以及预测误差方差的分解，将在以下各节中进行讨论。

VAR系统规范。

在实践中，经常存在两个以上的内生变量，并且经常存在一个以上的滞后。向量自回归模型对两个内生变量中的每一个均具有三个滞后，并且包括常数：

Y =一个₀ + B ₁ Ÿ _T-1 + B ₂ ý _T-2 + B ₃ ÿ _T-3 + B ₄ X _T-1 + B ₅ X _T-2 + B ₆ X _T-3 + X ₁。

X = a ₁ + b ₁₃ Y _t- ₁ + b ₁₄ Y _t-2 + b ₁₅ Y _t-3 + b ₁₆ X _t-1 + b ₁₇ X _t-2 + b ₁₈ X _t-3 + x ₂。

我们以线性方式考虑了系统（系统也可以用延迟算子L来表示），以便根据创新（x ₁，x ₂）对内生变量进行收敛式表达：

Y _t = A ₁ Y _t-1 +………+ A _p Y _t-p + x _t

Y _1t = D ^-1

对于具有两个内生变量：Y _t，X _t和每个变量有3个滞后的模型，第一个方程式为：

Y _t = a ₁ + b _j Y _t-j + d _j X _t-j + x ₁

X _t = a ₂ + f _j Y _{t- j +} l _j X _t-j + x _2t

VAR估算和计量经济校准。

从贝叶斯角度来看，估计问题包括基于系数的分布和内生变量的观测向量中包含的新信息来获得系数的估计。当所有样品观测值均已根据更新方程式处理后，估计就完成了。显然，要完成此过程，需要指定VAR系统以及应在样品前历史中解释为有条件的分布。这种方法的基本原理是避免先验地排除变量。另一方面，随时间变化的系数的引入旨在捕获建模的随机向量中可能存在的非线性。

VAR的估计系数很难解释。因此，很可能会在系统方差的脉冲响应和分解函数中观察到有关VAR的某些含义。

从理论上讲，在每个方程中，滞后变量本身的系数的初始均值为1，所有其他变量的初始均值为0，先验变量的方差随滞后时间的增加而减小。随着滞后长度的增加，方差减小。即，系数为零的确定性正在增加。对于所有其他系数，该初始值为0，并且滞后系数的初始值将更集中在零附近。

由于VAR建模的目的是研究不同类型的干扰和随机控制的动态相互作用，并且实际上，这种建模的典型用法反映了这种动机，因此我们将继续分析冲激响应函数和分解方差，以便对系统的预测能力进行策略评估和分析，本文以下各节介绍了这些主题。

脉冲响应功能。

此功能只是表示与估计模型相关联的移动平均值，并解释了系统对干扰矢量分量中冲击的响应。脉冲响应函数绘制系统中内生变量对错误冲击的响应。 x _1的更改将立即更改Y的值。由于系统的动态结构，这也将改变系统其他内生变量的所有未来值。

在脉冲响应函数中，它可以将冲击内生变量的决定因素分开，或者用特定变量来识别创新。然后，它绘制了对创新的``标准偏差冲击''之前内生变量的当前影响和未来价值（随机变量）。

如果VAR系统的所有随机成分都不相关，则解释很简单，x ₁是创新Y，x ₂是创新X，依此类推。x ₂的脉冲响应函数可测量标准偏差对内生变量X中当前和未来冲击的影响。

不幸的是，由于错误是完全不正确的，所以几乎从来没有这样。当错误相关时，它们具有无法用任何特定变量标识的公共组件。讨论此问题的某种任意方法是将整个效果归因于变量共有的任何组件，以VAR系统中先出现的为准。在我们的系统中，x _1和 x ₂的公共成分完全归属于x ₁，因为x ₁在x ₂之前； x ₁是创新Y，x ₂是创新X转换或除去了公共成分。

从技术上讲，通过Choleski分解将误差正交化，因此所得的协方差矩阵为较低的三角形（主对角线上方的元素为零）。霍尔斯基分解法被广泛使用，它是常见效果归因于某种程度的任意方法。通过改变方程式的阶数，您可以极大地改变脉冲响应函数，您必须小心理解这些函数。

分解预测误差的方差。

VAR方差的分解为每个内生变量提供了有关随机创新的相对功效的信息。这项工作包括将内生变量的方差分解为多个分量，这些分量使我们能够隔离由一种针对不同预测范围的创新所解释的内生变量的可变性百分比。这种分解是在“正交化”扰动向量之后获得的，该分解包括在扰动向量的不同分量之间分配对协方差矩阵中反映的相关性的责任。明确说明最初估计的模型与获得的模型之间的这种联系的目的是澄清一旦进行正交化后获得的模型不是简化形式，但结构形式；因此，正交化过程实际上是一种识别形式。以此方式，可以计算出创新对下一个时期的预测误差的贡献。可以预计，从短期来看，创新本身可以解释这一错误的更大比例。

对VAR系统的预测能力进行策略评估和分析。

计量经济学的最终目标之一可能是最大的潜在用途之一。该目标是指决策者必须根据给定的一组替代政策选择一种称为“计划”的政策。政策评估与预测密切相关，并且像预测一样，将假定政策选择是定量的，明确的和明确的。实际上，预测和政策评估在反馈系统中是相互关联的：预测必须部分基于有关决策者选择的假设。相反，政策评估必须得到部分支持，预测不同替代政策的效果。

这样，冲激响应和方差分解函数的计算表明了相同的动态相互作用。这些偏差是使用蒙特卡洛演算（假设误差具有正态分布）和自回归算子的后验分布来计算的。考虑到自回归和移动平均值表示之间存在非线性关系，蒙特卡洛方法是该计算的唯一可行方法。

自回归向量和协整向量。

自回归向量技术与协整之间存在简单的关系。如果VAR系数矩阵的特征根（einvalue）等于1，则两者的序列都是一阶积分，而不是协积分；如果确切的根数为1，则级数为协整。如果没有一个根是单一的，则这些根是固定的，以使其不是整数或共整数。

如何从VAR模型中找到协整关系？步骤如下：找到特征根（特征值）；然后，与每个根相对应，找到特征向量；然后我们使用获得的特征向量构建一个矩阵并将该矩阵求逆，以便该矩阵的列给出所需的线性组合，在实践中有必要测试单位根。这是通过Johansen在他的工作中开发的方法进行的：“协整矢量的统计分析”（1991）。

VAR系统中的协整测试。

如果存在固定的线性组合，并且该组合不具有随机趋势，则一组时间序列是协整的。线性组合称为“协整方程”。它的正常解释是长期的，研究长期的平衡关系。如果我们有“ n”个内生变量，则每个变量都是一阶积分（即每个具有单位根或随机趋势，或者具有随机路径的元素），它们的线性独立协整向量可以从零变为n-1，如果不能满足要求，则必须先对样品施加第一个差异，直到样品静止为止。

Johansen检验确定了协整方程的数量。该数字称为“协整范围”。如果存在n个协整方程，则当前对序列均值进行积分，并且可以根据所有序列的水平来重新制定VAR。增加的Dickey-Fuller（ADF）测试表明某些序列已积分，但Johansen测试表明协积分范围为“ n”。这是一系列嵌套模型，受限制最多的模型，具有最少的参数，没有协整方程，这是一阶无限制的VAR。每个协整方程都会添加与系列的水平包络项相关联的参数，并添加到每个方程中。Johansen检验尝试为添加的每个协整方程计算统计似然比。此测试没有通常的卡方分布；这些统计数据的对比必须使用Johansen和Juselius（1990）的表格进行：

99％95％90％

l _追踪

H ₀：r = 0

H ₁：r> 0

56,786 35,068 32,093

H ₀：r = 0

H ₁：r> 1

18,123 20,168 17,957

H ₀：r <1

高₁：r> 2

3,306 9,094 7,563

升_MAX

H ₀：r = 0

H ₁：r = 1

56,786 21,894 19,796

H ₀：r = 1

H ₁：r = 2

14,123 15,252 13,781

H ₀：r = 2

H ₁：r = 3

3,306 9,094 7,563

约翰森的方法论（1991）。

此方法的规范基于Dickey和Fuller过程的多元概括。如果X _t是遵循AR（1）过程的n个变量的向量：

X _t = A _t X _t-1 + z _t

因此，在等式两边都减去X _t-1，我们得到：

DX _t = A _t X _t-1 -X _t-1 + z _t =（A _t -1）X _t-1 + z _t = X X _t-1 + z _t

如果P是零的矩阵，使得r（p）= 0，则所有变量都是以单位根（DX _t = z _t）进行处理的，并且没有X _t的平稳线性组合，则这些变量不会进行协整。如果r（p）= j，则所有变量都是平稳的。

由于可以推广增强迪基-富勒（ADF），因此可以通过如下重新参数化来获得用于更高阶处理的模型：

X _t = A ₁ X _t-1 + A ₂ X _t-2 +…+ z _t

从两边减去X _t-1：DX _t =（A ₁ -I）X _t-1 + A ₂ X _t-2 +… + A _p X _t-p + z _t

在右边加和减（A ₁ -I）X _t-2：

DX _t =（A ₁ -I）X _t-1 +（A ₂ + A ₁ -I）X _t-2 + A ₃ X _t-3 +… + A _p X _t-p + z _t

在右边加和减（A ₂ + A ₁ -I）X _t-3：

DX _t =（A ₁ -I）DX _t-1 +（A ₂ + A ₁ -I）DX _t-2 +（A ₃ + A ₂ + A ₁ -I）X _t-3 +… + A _p X _tp + z _t

得到算法的加减法：DX _t = DX _t-1 + PX _t-p + z _t，

其中P =-; P

这是通用公式，无非就是所谓的“纠错模型”（MCE），其中调整发生“ p”滞后。因此，请注意，针对长期关系的校正项为PX _t-p，即，在周期tp中调整所述关系对以后的周期有“ p”个作用。这导致该模型的规范通常具有相当低的“ p”，因为否则错误的校正将几乎没有经济意义。

由于确定协整向量的数量取决于P的范围，因此取决于所述矩阵的非零特征根的数量，因此需要使用测试来验证所述数量。如果我们具有矩阵P（l _i）的“ n”个根，其中l ₁ > l ₂ >…> l _n，我们可以提出两个检验：

（1）Ho：协整向量的个数为£r

l _TRACE（R）=-T Ln（1- l _i），l _s的数目等于零越大，l _TRACE越低。

（2）Ho：协整向量的数量= r。

（3）H ₁：协整向量的数量= r + 1。

约翰逊协整检验

如前所述，这是一种广泛使用的带有非平稳变量的协整检验（序列显示出明显的斜率，使其保持高于或低于样品中的中心值）。知道矩阵的秩等于其特征根的数目不为零，可以通过检查特征根的重要性（特征值）来获得互不相同的协整向量的数目。 Johansen检验使我们能够确定协整参数（长期调整）的存在，并通过协整变量的系数表示它们各自的“调整速度”。接下来，使用误差矢量校正模型（VEC）方法来确保VAR包含协整变量。

该测试中出现的假设如下：

H ₀ =没有协整。

H ₁ =存在协整。

这个想法是，在执行协整检验时，非协整的零假设在统计上被拒绝，这确保了参数的符号和值都符合经济理论，并且被测方程式接近其正确规格长期动力学，这也确保了协整参数的OLS估计器收敛于其长期值的速度比固定变量更快。

VAR中的误差矢量校正模型（VEC）的方法论。

根据谨慎的判断，VEC模型是为非平稳序列设计的受限VAR，我们知道可以协整。 VEC规范限制了内生变量收敛于其协整关系的长期行为，同时允许较宽的短期动态范围。

由于VEC规范仅适用于协整系列，因此必须在通过Johansen协整测试作为VEC规范后执行。这使我们可以确认变量是协整的，从而使用Johansen程序确定协整方程的数量。每个内生变量的第一个差异在协整方程中都带有一个滞后周期，并且所有内生变量中的第一个微分滞后都由感知到的不平衡决定，并确保最终收敛到长期均衡位置。揭示了动力学方程式的另一个特点：进行了各种调整，因此，纠错向量（VEC）是一种协整的VAR结构。为了更好地检查结构，请考虑具有均值且协整方程具有截距的模式，并指定VEC：

DY _1，t = a ₁ + d ₀（Y _2，t-1 -m-bY _1，t-1）+ e _1，t

DY _2，t = a ₂ + d ₁（Y _2，t-1 -m -bY _1，t-1）+ e _2，t

在此，方程的截距在括号之外，对应于线性趋势。

结论

协整方法提供了一个符合几个重要特征的过程：a）可以区分虚假回归和有效回归，即它们代表变量之间的稳定长期关系，而调整机制则可以减少差异露面; b）允许将时间序列方法与长期均衡经济理论中的信息相结合，从而消除了对每种方法分别提出的许多反对意见； c）它允许混合不同周期性的信息，例如，可以用年度数据建立协整方程，用每月信息构成纠错方程； d）申请相对容易，它的用途在于用普通最小二乘法估计几个方程，主要困难在于测试背后的统计理论，该理论比通常的理论困难得多。

在对VAR方法进行工具化时，面临的基本问题之一是随着滞后时间的增加，模型自由度迅速消失。为克服此缺点，建议使用贝叶斯估计（BVAR）。在这种方法中，先验分布被分配给矢量自回归系数，以允许分析在高斯框架中进行。

随时间变化的系数的引入旨在捕获建模的随机矢量中可能存在的非线性。可以通过某种程度的拟合标准指导或多或少的复杂搜索过程来进行此类分配。关于系数的移动定律，用误差项指定了接近“随机游动”的变量，该误差项的变异性显着小于系数本身引入的变异性。（此运动定律试图反映这样的观点，即系数的太多变化会恶化使用该模型获得的结果。经验支持该观点。）

在这种VAR方法中使用的正交化方案是所谓的Choleski方案。此方案指定在主对角线上有一个下三角A ₀矩阵。在这种情况下，对最大问题的解决方案是即时的，因为对于S对角线，只有一种方法可以表达以A ₀ SA´ ₀形式定义的正矩阵，因此该解决方案是唯一的。但是，总的来说，为了更真实起见，分析人员发现通过指定A _0的结构可以方便地偏离Choleski方案所暗示的Wald链。除了三角形。但是，正交化后得到的模型不是简化形式，而是结构形式。因此，正交化过程实际上是一种识别形式。

VAR型模型已作为预测工具获得了广泛认可，其目的是从时间序列解释或设计经济政策结论，甚至适用于非线性一般均衡模型。实际上，在使用VAR的预测变量的常规实践中，它并不是完全的贝叶斯方法，但是可以将其解释为理想处理的近似值。尽管这种一般环境本质上不是贝叶斯方法，但它打算对未来的扩展实施完整的贝叶斯主观主义对待。这里提出的模型旨在促进科学交流和间接决策。

值得注意的是，向VAR系统“添加时间变异性”并不会自动改善其预测行为。在模型其余部分的一些考虑下，拟合以非常低的时间变异率最大化，并且在不检查拟合是否提高的情况下强迫模型中的时间变异会导致预测行为的严重恶化，因为具有较高预测误差的周期后的干扰。这类似于GARCH规范，但不同之处在于，认为会影响干扰方差的是由卡尔曼滤波器产生的实际预测误差，如果参数确切已知（如在GARCH模型中），将会获得理想的预测误差。

以概念上和计算上可行的方式将互协方差冲击纳入脉冲响应函数的分析中是一个重要的开放研究课题。这方面与对VAR模型的“ 非理论计量经济学 ” 的批评有关，因为它们不使用任何经济学理论，并且与要估计的参数过多有关。Sims（1991）批评了联立方程的传统模型，理由是它们基于对参数的特定约束，以实现识别。

根据Johansen的VAR系统协整方法，根据Johansen和Juselius（1991）表中的临界值拒绝了非协整的零假设。估计参数的值和符号符合经济理论，这些方程式接近正确的长期规范，并且协整参数的OLS估计器收敛于其长期值的速度比使用固定变量更快。

该方法仍在发展中，例如，在联立方程模型的估计中，分布理论缺失，这似乎非常复杂；需要很多工作。非线性协整分析也是如此。

总之，这是一种非常适合经济学中出现的许多问题的理论。

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寄件人：

古斯塔沃·赫米尼奥·特鲁希略·卡拉瓜，

国立大学Federico Villareal利马-秘鲁经济学家。美国布莱克斯堡弗吉尼亚州立大学数学经济学硕士和经济学博士。

商业顾问。

南方科学大学，利马-秘鲁，经济工程学院副教授。

卡哈马卡-秘鲁圣佩德罗私立大学管理学院助理教授。

卡哈马卡秘鲁国立卡哈马卡大学经济学院助理教授。

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单位根，协整，自回归向量和参数稳定性的方法：

提供：Gustavo Herminio Trujillo [email protected]

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参见例如Yule（1926）和Working（1934）。