现代投资组合理论的基本方面

本论文着重介绍了现代投资组合理论的基本方面，认为效用理论是获得结果的理论基础。

本文档分为五个部分。他们中的第一个是指证券投资中存在的基本概念，而不涉及数学方面。此外，通过介绍市场中现实生活的相关方面，给出了研究这些主题的理由。第二部分讨论效用理论，其中期望效用被显示为在随机选择之间进行选择的手段。第三部分专门分析作为投资组合中关键组成部分的风险，回报和相关性。第四部分通过两基金和一基金定理研究了有效边界的性质。在第五部分中，得出了整个经济的CAPM，并显示了beta在确定资本成本中的应用。

为了阐明本演示文稿中的某些概念，设计了有关正态分布和市场定义的附录。

现代投资组合理论的基本方面

1关键概念简介

投资额

投资是指在满足者的生产中使用资源以在将来获得潜在的利润。投资可以在国民经济或国外的两个方面进行：

1.直接。它在机械等有形资产和教育等无形资产中进行。考虑到流动性低，这项投资通常是长期的。

2.间接或证券投资。指购买股票等金融工具。考虑到存在二级市场，这些二级市场为金融资产提供了流动性，因此通常是短期的。

在本演示文稿中，这将是第二种类型的投资，但是，在进入投资组合研究之前，必须分解投资定义的要素：

o令人满意的产品

o不确定的收入

生产令人满意的投资

使用资源生产不能满足任何需求的商品和/或服务是不可行的，因为没有人愿意购买它们。

市政当局为建造桥梁而发债的情况表明，有必要为需要更好沟通渠道的居民和承运人创造财富。另一方面，市政债券的持有者是提供财政资源的人。

不确定的收益

投资不安全，即使是政府文件中的投资也不安全，因为它们要承受市场，信贷和运营风险。投资的风险取决于机会成本来确定其提供的获利能力。因此，风险越高，产率越高。

一旦了解了投资概念，下一步就是分析一项投资相对于另一项投资的适用性。在直接投资中，有评估投资项目的技术，而在证券投资中，有股票市场分析，现代证券理论是本次博览会的主题。

首先定义投资组合。

它是一组至少两个同时进行投资的金融工具。

可以用来创建投资组合的金融工具多种多样，并且可以来自以下市场：

•货币

市场•资本

市场

• 衍生品市场

• 货币市场•商品市场

投资组合在多元化理念方面存在优势，有助于降低风险和维持绩效。

多样化。以下示例提供了多样化意味着什么的直观想法。

客栈

一家小旅馆为食客提供柠檬水。在炎热的日子里，柠檬水增加了收入，但是在凉爽的日子里，人们减少了冷饮的消费，因此他们感觉销量下降了。如果旅馆的老板在菜单中介绍一些咖啡，那么当天气炎热时，可以提供柠檬水，而在寒冷的日子可以提供咖啡，从而减少了损失的可能性。

在这种情况下，产品多样化会导致在凉爽的日子里通过销售咖啡来弥补柠檬水的损失。当天气炎热时，咖啡的销量将减少，但柠檬水的销量将增加，因此在两种情况下，损失的可能性均会降低。

多元化起源于1920年代Alfred Cowles提出的靶心理论。这种理论的想法表明，最好从股票市场上的所有东西中购买以形成多元化的投资组合。Cowles得出结论，由于佣金支付，分散投资组合平均比遵循最佳股票经纪人投资策略要好。

后来，考克斯的想法通过Markowitz提出的现代投资组合理论得以完善。托宾（Tobin）提出的经典多元化短语“不要把所有鸡蛋都放在一个篮子里”。

多元化的关键在于组成投资组合的工具之间的依赖性。通过相关性估计这种依赖关系。资产相关性越低，投资组合将越多样化。

收益率和风险。在两个投资组合之间进行选择时，最重要的指标是它们所呈现的风险和回报。

收益率显示投资组合价值的增长。必须在已实现的性能和预期的性能之间进行区分。第一个是投资组合实际的绩效，而第二个是对投资组合未来绩效的估计。

风险通常被定义为损失的可能性，并且可以与下降的市场联系在一起，但是即使在这种情况下，也可以通过做空头寸获得收益。因此，对于这些注释，风险表示收益与预期收益之间的分散。

收益率和风险都有不同的估计方法，例如绩效的移动平均值和波动率的GARCH模型。但是，此材料仅将平均收益率和标准差分别用作收益率和风险的估计。

投资者投资

在金融市场上，有不同类型的投资者，但是第一个分类考虑两个类别：个人和机构。但是，投资需求和投资者所处的条件是决定投资类型的因素。

银行业务

同一家金融机构可能根据高级管理政策拥有不同的投资组合。因此，在金融机构中，您可以找到由流动性工具组成的交易投资组合，以经常性地进行再平衡（改变投资组合的构成），而养老金基金则由流动性较低但较长期的工具组成，但提供了以下可能性：利用某些监管仲裁。监管仲裁（仅适用于多家银行）包括投资于监管机构要求其监管资本少于经济资本的工具。

保险

保险机构必须投资准备金，因为这些是可以用来回应索赔的资源。国家保险和担保委员会的S-11.2号通知确定了保险公司可以参与的投资特征。该通告根据表1和表2所示的资产类型和储备类别指示投资限额。

墨西哥当前的养老金制度

表1.监管机构对储备金投资的限制。

价值类型投资组合的百分比

联邦政府

发行或支持的证券最高100％信贷机构发行或支持的证券最高60％

除上述以外的任何投资最高30％

资料来源：国家保险和债券委员会

表2.储备投资的流动性限制。

储备金短期投资的最低百分比

OPC 100

IBNR 75持续

风险50

数学30

预测30

应急费用30

灾难性风险20

资料来源：国家保险和债券委员会

这些只是金融市场现实的简化示例。本文中显示的模型只是长期学习过程的开始，那些打算涉足金融市场的人必须遵循这些模型。

2效用理论

面对不确定的替代方案时的决策是通过效用理论建模的，该理论以有限的方式提出，但并未减去理解投资组合选择的关键要素。在以下各段中，将显示效用理论的公理，以及作为在随机选择之前进行选择的工具的预期效用的推导。随后，讨论了随机优势，风险规避和均值-方差准则。图1指示了此内容块的过程。

插图1.选择投资组合的理论支持。

评估不确定替代品的期望值标准。

直到18世纪30年代之前，人们一直认为人们根据期望值的标准决定了不确定的替代方案。所述标准的无效性示例如下：

假设一个人有以下选择：

1.一张彩票，奖励5％的机会奖励2000货币单位（CU），并以95％的机会奖励CU2。该投注的代表是：

⎧20000.05

G = ⎨E = 2000 * 0.05 +（-2）* 0.95 = 98.1

⎩− 2 0.95

2. CU100的H投资在安全支付1％利息的银行帐户中。

E = 101

3.由正面抛弃的公平投掷组成的游戏M，在这种情况下以第二货币单位支付，其中r是直到游戏停止为止的投掷次数。第r次掷出的概率值为2-r，因此此游戏的希望为

r = 1

根据期望值的标准，第三个选择是正确的选择。然而，拥有无限的期望奖金，参加这样的游戏的成本也是无限的，因此没有人愿意参加。游戏M被称为“圣彼得堡悖论”。

该标准的不一致之处通过以下段落中由公理构造的预期效用的想法得以解决。

效用理论公理

在提出有关理论的公理之前，对彩票概念的理解是必不可少的。彩票是一种获得具有相关赔率的不同互斥奖品的游戏，其具有以下表达式：

⎧x1P1

G（X1，X2，…，XN：P1，P2，…，PN）=⎪⎪⎨x2P2

⎪

⎪⎩xnPN

其中奖赏xi有概率pi。可以通过将奖金和概率分组为向量x =（x1，x2，…，xn）和p =（p1，p2，…，pn）来简化这种简单的彩票表达，因此G（x：p）为更简单的表示法。

也有诸如

⎧G1（x：q）p

G（G1，G2：p）= compound的复合彩票，其中每个奖品都是彩票。

⎩G2（y：r）1− p

例子。假设两个简单彩票为G1（x：q），G2（x：r），而G（G1，G2：p）为复合彩票。这样的彩票使得x =（2,4,6）q =（0.5,0.3,0.2）和=（6,8）r =（0.6,0.4）。

⎧20.5

G1（2,4,6：0.5,0.3,0.2）=⎪⎨40.3 G 2（6.8：0.6,0.4）=⎧⎨60.6 G =

⎨⎧G10.5⎪⎩60.2⎩8 0.4⎩G20.5

通过将G彩票理解为彩票的线性组合，可以将其简化为简单彩票。也就是说，G = 0.5G1 + 0.5G2，因此采用以下简单形式：

2 p = 0.25

4 p = 0.15

G =

6 p = 0.40

8 p = 0.20

请注意，在G1和G2彩票中提供了6的奖金值，因此发生的概率为0.5（0.2）+0.5（0.6）。其他奖项的赔率类似地计算。

公理

现在已经掌握了彩票的概念，可以提出效用理论的五个公理。

令Γ为与个人有关的彩票集合，使有界集合X为所有彩票的可能的非负结果集合。

公理1.完整性。对于所有x，y∈X，代理可以执行以下情况之一：

•相对于表示为y

x x的y优先选择ax•相对于表示为xy的x优先选择ay

•两者之间无差异（y≈x ）

公理2.传递性对于x，y，z∈X，在以下情况下会发生这种情况：

•x yy∧y zz⇒xz

• x≈y∧y≈z⇒x≈z

公理3.独立性强。令x，y，z∈X和G1，G2∈Γ。该公理表明：

x≈y⇒G1（x，z：p）≈G2（y，z：p）。

公理4.可测量性。令x，y，z∈X和G∈Γ。公理表明

xyz∨xyz⇒∃！p使得y≈G（x，z：p）。

公理5.毕业。设四个结果为x，y，u，

z∈X假设（xyz）∧（xuz）由公理4得出，存在彩票G1，G2∈Γ，从而y≈G1（x ，z：p）yu≈G1（x，z：q）。

该公理表示以下内容：如果q≤p⇒uy。

期望效用理论

发展预期效用理论还需要两个假设：

1.个人总是喜欢更多的财富

2.对于个人而言，偏离平均财富的有利偏差不能弥补偏离平均财富的不利偏差。

假设1表示总是想要更大福祉的个人的逻辑状况。假设2详细说明了人们对风险的厌恶，因为无论奖金有多高，大损失的可能性都使个人免受不确定事件的影响。通过这些假设和五个书面公理，该理论的发展是可行的。

实用功能。

它是在结果X集合中定义的标量函数，因此它代表了对实际代表财富水平的不同结果的偏好程度。实用函数以数学形式采用以下形式：

U：X→ℜ

x→U（x）

函数值U（x）无关紧要，因为重要的是将阶数（X，）保留为实数的阶数，因此增加幂等变换或相关变换V（x）= aU（x）+ b> a> 0。为了说明这种情况，请考虑三种选择：梨，苹果和橙子。此外，还有一个人对水果有以下偏好：

苹果橙梨

个人的效用函数是

U（苹果）= 12

U（橙色）= 16 U（梨）= 20

请注意，我们现在有了可以比较的实数，很明显，

U（苹果）<U（橙色）<U（梨）= 20

效用函数采用的值无关紧要，因为重要的是它们通过实数的顺序保留了偏好的顺序。这样，仿射变换2 * U（x）+3等效于函数U（x），因为它保留了初始顺序。

定理。对于所有x，y∈X，效用函数必须遵循以下偏好顺序：

U（x）> U（y）⇒xyU

（x）

示范

由于X是有界集合，因此元素xI = inf（X）被称为hell x，是最糟糕的结果；最大xP = sup（X）被称为天堂x，并且是最佳结果。

对于所有x，y∈X我们有xPxxI∨xPxxI和xPyyxI∨xPyxI

根据公理4，存在等价

x≈G1（xI，xP：p（x））和y≈G2（xI，xP：q（y））。

如果U（x）= p（x）且U（y）= q（y），则根据公理5，我们必须：

o（x）> U（y）⇒x和U（x） o U（x）= U（y）⇒x≈y

期望效用的定理。效用函数用于通过预期效用来比较随机替代方案。

示范

令x，y，z∈X. 从先前的等价物x≈G1（xI，xP：p（x））和y≈G2（xI，xP：q（y））开始，构造复合彩票，使得z≈G（G1，G2：r）为节目。

⎧xP p（x）

⎪x≈r（z）z≈⎪⎨xI1- p（x）

⎪y≈⎧⎨PPq（y）1- r（z）

⎪⎩xI1- q （和）

然后z≈G（xP，xI：r（z）p（x）+（1-r（z））q（x））并且记住U（x）= p（x）和

U（y）= q（y）因此，U（z）= r（z）U（x）+（1-r（z））U（y），这被理解为

预期利润。

更一般地，未来的财富的预期效用是E =ΣU（XI）PI。

解决圣彼得堡悖论

期望效用定理通过找到一个有限值来解决圣彼得堡悖论。

r = 1

实用功能的功能

基于假设1的个人对更大财富的偏好意味着效用函数的增加。此条件等效于效用函数的导数（称为边际效用）为正U（x）/> 0。

假设2意味着个人是规避风险的，因此边际效用正在减小，即U（x）// <0，并且此条件等效于凹效用函数。

例子。由于U /（x）= 1> 0并且U //（x）=-1 x− <0。2

x 4

图2导数递减的根效用函数的特征。

但是，根据参数a，b和c，二次效用函数U（x）= ax2 + bx + c可以是凹的并增加。

假设函数在增加，则必须考虑到随着幸福感的发展，拐点达到了其中一阶导数改变正负号的位置，因此效用函数仅在区间

⎡内增加并凹入⎢⎣0，-2ba⎤⎥⎦，而对于大于-2ba的价值，个人偏爱

越来越少的财富。

效用函数为面对随机选择（例如投资组合中的股票收益）的决策提供了数学工具。在本文档涵盖的主题中，理性的投资者始终会选择预期利润最高的投资组合。

收益和回报正常分配。

到现在为止，效用函数的想法被提出来代表个人的偏好。假定该函数的增量为U（x）/> 0，而凹面U（x）// <0。

此外，还给出了诸如根函数和二次函数之类的效用函数的示例，但投资组合选择不应限于一系列效用函数，因此需要以下假设：

课程。效用函数可以由泰勒多项式近似。

如果x0是效用函数U（x）的域中的点，则

UU k（x0）（x-x0）k

k = 0 k！

令w为一个随机变量，其期望值为µ <∞，方差为σ2<∞，因此它表示投资的未来收益。

U k（µ）k

如果完成了U（w -µ），则确定效用

k = 0 k！

期望E = ∑k∞ = 0 U kk（！µ）E

必须知道随机变量w的所有中心矩。当效用函数是二次函数时，可以避免这种情况，因为阶导数大于或等于3会抵消。不幸的是，不能将此函数分配给所有投资者，因此最好假设w〜N（µ，σ），因为该随机变量的所有矩都是从前两个中获得的，如附录所示。。

在w的正态性假设下，效用函数不需要进一步的假设，仅要求它由泰勒多项式近似并且是凹且递增的。

风险规避

效用函数的凹入是投资者风险规避的征兆，但是可以通过以下方法获得有关投资者愿意承受的风险量的更多信息：

•箭头普拉特系数A（x）

•风险规避R（x）

在先前推导此类措施之前，必须知道真正等效的概念。

等效的。

不确定的财富水平的真实等值是一定数量，以使第二个的效用等于第一个的预期效用。

用数学术语来说，当U（C）= E或明确地C = U -1（E）时，C的值等于财富x的水平。

为了说明，考虑具有效用函数的投资者

U（x）= -e - X，10的电流的财富和一个新的财富X = 10 + G，使得

⎧1

G =⎪⎨-5其中p = 12

⎪5其中p =

⎩2

则E = - 1 = -0.003369所以真正的等效2

是C = -ln（ - （ - 0.003369））= 5.6931和U（C）= 0.003369。

因此，投资者对5.69个特定货币单位与新的财富水平之间无动于衷。当前福利水平与真实等值水平10-5.6931 = 4.3069之间的差额应理解为投资者为不面对G彩票而要支付的保险费。

这种差异是对绝对风险规避的一种度量，其发展如下：

Arrow-Pratt绝对风险规避系数。

考虑一个效用函数为U（x）的投资者，其中x是初始财富水平，最终财富水平x +ε，其中ε是方差为σε2的随机变量，代表公平博弈，因此E = 0。

利用这些数据，希望计算出投资者在面对最终财富水平的不确定性时将要支付的溢价Π。

令C为x +ε的真等价物，即U（C）=E。为了找到素数Π的解析表达式，对U（x +ε）在x的水平周围进行了二阶泰勒逼近。

U（x +ε）= U（x）+ U /（x）（x + ε− x）+ U //（x）（x + ε− x）2

希望这个近似值记住x是给定值

E = U（x）+ U /（x）E + U //（x）E = U（x）+ U //（x）σε2

如果我们还记得溢价是当前财富水平与真实等值之间的差额，我们有以下表达式：

Π= x −C⇒C = x −Π⇒U（C）= U（x −Π）

对x进行一阶泰勒近似可得出：

U（x −Π）= U（x）+ U /（x）（x −Π-x）

由于C是一个真正的等价物，所以U（x-Π）= E，因此在近似时我们有：

/// 2/1 2 //

U（X）+ U（X）（ - Π）= U（x）+ U（x）的σε⇒ - ΠU（X）=σεU（x）的⇒

1 2 U（x）Π=-σε/

2 U（x）

该素数is被称为Arrow-Pratt素数，并且由于

1σε2是常数，因此定义了2

U //（x）Arrow-Pratt风险A（x）=-/ 时的厌恶系数。

U（x）

为了分析个人的风险规避，采用系数的导数。如果衍生产品为正数，则个人愿意为风险投资分配更多资源。当导数为负数时，表示存在风险规避，这意味着将越来越少的资源分配给风险投资，如果导数为空，则在风险投资中将保持相同数量的货币单位。

风险规避系数

风险规避表示不参加彩票将牺牲的财富百分比。

与前面的情况一样，正导数表示个人增加了用于风险投资的财富的百分比。如果衍生产品为负数，则表示存在风险规避，较低的财富比例将分配给风险投资，如果衍生产品为空，则风险投资中将保留相同百分比的货币单位。与Arrow-Pratt系数类似，我们获得

相对于风险R（x）=-/ 的xU //（x）厌恶系数。

U（x）

示例：使用效用函数U（x）= x分析一个人。为了定义系数，需要关于财富的前两个导数。

U /（x）= 1> 0且U //（x）=-1 x− <0.A（x）= −U //（x）= 1⇒A /（x）=-12 <0

2 x 4 U（x）2x 2x xU //（x）1 /

R（x）=-=⇒R（x）= 0 U（x）2

可以看出，绝对风险规避系数的导数为负，因此个人将在风险资产上投入更多的资源。对风险的相对厌恶情绪是恒定的，因此个人将始终在风险资产上投资相同的百分比。图3显示了两个系数的行为。

风险规避

图3.平方根效用函数的风险规避系数。

随机优势

如果目标是根据风险和绩效指标在不同的投资组合之间进行选择，则必须确定随机支配地位以建立决策标准。对于此部分，A和B是两种不同的资产，RA和RB是收益，分别具有分配函数FRA（x）和FRB（x）。

一阶随机优势。当FRA（x）≤FRB（x）时，资产A在资产B中占主导地位。

要理解此定义，需要执行一些数学运算，如下所示：

FRA（x）≤FRB（x）⇔-FRB（x）≤-FRA（x）⇔1-FRB（x）≤1-FRA（x）⇔P {RA≥x}≥P {RB≥x}

换句话说，资产A获得更高回报的可能性大于资产B。

二阶随机优势。

当FRB（x）dx时，资产A在此方向上主导资产B。

该定义假设投资者避免了风险，这意味着资产A将是首选资产，因为它在左尾部积累的可能性较小，无论放弃更好的回报，这种资产的不利影响最小。

为了获得这些随机主导思想，下面显示了三个具有不同参数的正态随机变量的分布。

正态分布平均标准偏差

F1 0.1 0.17

F2 0.2 0.17

F3 0.21 0.3

表3.正态分布和随机优势。

图4.随机优势。

图4显示，F2以第一顺序支配F1，而F3以第二顺序支配F2，这是因为尽管均值低于F3，但它在左尾部的累积概率较小，这表明存在风险规避。

随机优势和效用函数。

具有预期效用的一阶随机优势。当

E≥E并且U />为0 时，从这个意义上说，资产A主导资产B。

具有预期效用的二阶随机优势。当E≥E并且U // <0时，资产A在资产B中占主导地位。

具有预期效用的随机优势。如果我们认为

U /> 0并且U // <0，则当E≥E时，资产A支配资产B。

后一种随机优势的定义和具有正态分布的收益假设导致了称为均值方差的优势标准。

随机优势的均值和方差标准。

设RA〜N（µA，σA），RB〜N（µB，σB），Y〜N（µ，σ），其中U /> 0和U // <0，且y0为初始财富水平。则以下主导标准有效。

一阶随机优势。当µA≥µB并且σA=σB时，资产A支配资产B。

示范。

Y =σZ+ µ，Z〜N（0.1）

未来的财富水平为y0（1 +σZ+ µ），预期利润为

E。

取该期望值相对于位置参数µ的偏导数，可以看出它是正数，因此，期望效用相对于正常收益的均值正在增加，并且保持了一阶随机支配地位的新定义。

EDZ

2π

？E / E DZ> 0，因为U /> 0。

2π

对于此结果，我们具有以下规则：

给定一定的风险水平，选择收益最高的资产或投资组合。

二阶随机优势。当σA≤σB且µA = µB时，资产A支配资产B。该陈述的证明遵循与前一个陈述相同的趋势，但是使用了效用函数的凹性。示范。eE

=∫U（y（1 +σz+ µ））zy dz +∫U（y（1 +σz+ µ））zy

dz∂σ−∞ 0 02π0 0 02π∞/ e∞

/ e

dzdz2π2π

由于U // <0，并且U是一个递增函数，因此我们具有相对于标准偏差的期望效用的偏导数为负，因此较低的波动性

对效用的影响较小。

然后规避风险U // <0表示以下规则：

给定性能水平，选择风险最低的资产。

为了展示这些想法，我们提供了以下基于风险和绩效确定的资产列表。

资产收益风险

A 30％17％

B 30％53％

C 30％19％

D 15％12％

E -2％12％

F 18％12％

表4。随机优势的例子。

一阶随机优势。

要应用此标准，必须确定风险等级。对于资产D，E和F，风险级别为12％，因此按以下顺序排列。

资产风险绩效

F 18％12％

D 15％12％

E -2％12％

表5.一阶随机优势。

在这方面，资产F支配资产D和E。

二阶随机优势。

资产收益风险

A 30％17％

C 30％19％

B 30％53％

表6.二阶随机优势。

在这种情况下，资产A在给定收益水平的情况下波动性较小，从而主导了资产C和B。在插图二中是六项资产。此时，出现了有关资产A和F之间的优先选择的问题。要回答此问题，需要预期利润。如果资产A的预期利润大于资产F的预期利润，则所选资产为A。否则，选择F。

图5.均值和标准差的随机优势。

3性能，风险和相关性

性能。合理地说，资产收益是以正常方式分配的，因此现在是时候根据股价（假设不派息）来确定资产收益了。

令St为第t天的资产价格。因此

，当天的资产收益为Rt =ln⎛⎜⎜⎝SSt − t1⎞⎟⎟⎠。

对先前价格执行一阶泰勒逼近，我们获得了收益率的另一种定义，即考虑百分比变化的收益率。

ln⎜⎜⎛⎝SSt − t1≈ln⎛⎜⎝⎜SStt-11⎟⎞⎟⎠+ S1t − 1 SStt-11（St-St − 1）⇒Rt≈St S − t − S1t -1

但是，从理论上讲，这种近似的使用会导致负价格出现正概率，因为Rt在

St-St-11⇔St-St-1 <-St-1⇔St时呈正态分布<0从St-1开始> 0。

室温→-∞⇒< -

圣- 1

通过使用对数回报该理论详细地保存，因为当ln⎛⎜⎜⎝SST - T1⎞⎟⎟⎠→-∞⇒SST - T1→0⇒圣→0⇒ St> 0，因此永远不会出现

负价格，因为它们低于零。

对数收益的另一个优点是，可以通过简化年度平均收益的表述来增加对数收益。n个周期的收益由

ln⎜⎜⎝⎛SSt − tn⎞⎟⎟⎠=ln⎛⎜⎜⎝SSt − t1 SStt-12SSt− t − nn + 1⎟⎞⎟⎠= ∑kn =-给出10 Rt-k

通常，认为一年的股市时间为250天，因此，在估算出平均每日收益E时，只需将其乘以该天数即可得出年度平均收益。

从参数统计中可以看出，对于T 大小为T 的样本，平均收率的最大估计量

∑R i

可能为µ = 1 = 1 。

显然，资产的性能不能低于–1并且没有更高的水平，但是正常的假设仍然可行，因为资产很难在短时间内进行太多更改。

标准偏差

标准差表示在观察值的平均收益率附近的离散度，并用作对资产投资所代表的风险的估计。

标准偏差的最大似然估计值是，但是

下面要使用的估计值是无偏的。

估计标准偏差的方法有很多种，其中包括GARCH模型，这些模型可以感知条件方差随时间的变化，但无条件方差保持恒定。换句话说，行动所遵循的随机过程在局部不是固定的，而是渐近的。

为了使波动率年度化，必须考虑平方根规则并解释该思想，假设由于有效的市场假设，对资产性能的T观察被认为是独立的。

如果R1，R2，…，RT是方差为σ2的独立观测值，则这些变量的总和

为T天T天的收益，因此∑Rt的方差是

t = 1方差的总和收益分别给予独立性。

Var ∑T Rt⎞⎟= ∑T Var（Rt）=Tσ2⇒估计⎜⎛∑T Rt⎞⎟=Tσ⎝t = 1⎠t

= 1⎝t = 1⎠

换句话说，时段T的波动率是每日波动率的那个周期的平方根。要使每日波动率年化，必须乘以250的根，即市场活跃的天数。

卖空

对于企业家而言，低价买进和高价卖出的规则对于公司的生存是很普遍和必要的。对于投资组合投资者而言，除此规则外，还可以满足以下条件：高卖和低买，这是由卖空的可能性引起的。

为了更好地解释该概念，必须理解多头和空头的含义。

好仓。当您押注资产价格上涨时，便假定该资产为多头头寸。换句话说，财产价值的增加使所有者受益。从这个意义上说，所有者购买廉价商品是希望出售昂贵商品。

举例来说，您在未来有很长的地位。如果在交割日标的股票的现金价格大于交割价格，那么买方将因标的股票价格的上涨而获得利润。

空头头寸。空头意味着在下降的市场中获利的可能性。换句话说，如果资产的价格下跌而空头头寸的所有者受益，并且例子是期货的出售。

卖空。空头头寸的一个特殊情况是卖空。可以通过以下步骤来解释此想法：

•贷款并承诺在时间段T之后将其交付。

•收到资产时，其出售金额为S0。

•期限到期后，必须以ST价格购买资产并将其交付给原始所有者。

可以理解，卖空是指出售不拥有的资产，并且当资产价格下降时，此操作会产生利润。换句话说，当S0> ST并且实现的利润为S0-ST时，它将被赢取。

卖空涉及高风险，因为收益有限，因为价格只能降为零，而当价格趋于无穷大时，损失可以是无限的。

请注意，此操作的现金流始终为负，因为开始时为–S0，结束时为-ST。奇怪的是，当您有利润时收益率是负的，因为在这种情况下

T ST-S0 0但由于初始投资是–S0，因此您有

S0> S⇒<

正利润-S0 ST-S0 = S0-ST> 0 。

应当指出的是在实践中卖空需要由他们所代表的高风险采购担保。此外，如果在采取借贷行动的时间内有股利支付，则必须将其支付给所有者。图5显示了卖空的付款。

卖空的例子。

假设某个经济代理人拥有1,000股发行人A的股票，这些股票当前以25个货币单位交易。卖空示例如下：

•投资者向代理商要求这些股份，并承诺在7天内交割。

•投资者以25美元的当前价格出售这些股票，获得25,000个货币单位，这些货币单位可能会或可能不会投资于长期持有的其他工具。

•7天后，投资者以CU24的价格购买了发行人A的1000股股票，并将其退还给代理商，从而获得CU1,000的利润

4投资组合

通过多头和空头头寸定义，可以阐明新的投资组合定义：

钱包。它是您拥有头寸的一组金融工具。

从现在起，以下假设有效：

1.站数是有限的。

2.发行人的股份总数是不变的。

3.没有合并或破产。

4.谈判是连续的。

5.没有交易成本，税金或股票分割问题。

6.没有股息支付。

首先，考虑具有收益

R1，R2，…，RN的N个工具S1，S2，…，SN 。假设wi是分配给资产Si的每单位

百分比，因此很显然∑wi = 1。

i = 1

找到最优的投资组合选择意味着找到权重或权重的组合，以使它们在给定收益水平的情况下将风险最小化。为此，您必须首先确定投资组合的绩效和风险。wi的值也称为资产Si的权重。

投资组合的收益率。用RP表示的投资组合收益是资产收益的加权平均值。

RP = w1R1 + w2 R2 +…+ wN RN

投资组合的预期收益是资产预期收益的加权平均值。

E = w1E + w2 E +…+ wN E

投资组合风险。根据标准偏差（即方差的平方根）估算风险。组合的方差包含资产回报的协方差矩阵具有以下形式的概念：

⎡σ12

⎢

Σ =⎢σ21

⎢

⎢

⎢⎣σn1σ12σ22

σn2σ1n⎤

⎥

σ2n⎥

⎥

σn2⎥⎥⎦

其中σi2是第i个资产的收益的方差，而σij是资产i，j与i≠j的协方差。

根据投资组合RP = w1R1 + w2 R2 +… + wN RN的性能，获得由σP2表示的方差。

wiwjσij

I = 1 I≠j时

组合的方差可以用矩阵形式和用于显示

⎡W1⎤

⎢⎥

它被定义为向量W =⎢w2⎥包含的所有权重

活性

⎢⎥⎢⎥

⎣wN⎦

。

然后将方差表示为以下二次形式：

σP2= W /ΣW

波动率只是σP= W /ΣW，并且同样遵循时间规律的根T天σP= TW /ΣW。

投资组合的收益和风险示例。为了说明这些想法，考虑了具有以下数据的两个资产S1和S2：

E = 0.15

E = 0.12σ1=0.21⇒σ12= 0.0441σ2= 0.17⇒σ22

= 0.0289σ12= 0.01785 w1 = 0.3

w2 = 0.7

因此，投资组合回报率为12.9％

E = w1E + w2E = 0.3 * 0.15 + 0.7 * 0.12 = 0.129

投资组合的波动率为16.08％

σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2σ12=（0.3）2（0.0441）+（0.7）2（0.0289）+2（0.3）（0.7）（0.01785）= 0.025627σP= 0.1608

现在，假设您的初始金额为CU1,000,000，并且卖空了资产S1，并在手术后获得了额外的CU300,000，所以您现在有CU1,300,000投资于S2。因此，资产S1的权重为w1 = -300000 = -0.3，这是负值，因为该工具已借入

1000000

，可以看作是负债。

资产S2的权重为w2 = 1,300,000 = 1.3，因为最初的

1,000,000

金额加上从卖空交易中获得的金额已被存入。

很明显，w1 + w2 = -0.3 + 1.3 = 1，并且得出结论，卖空意味着该资产的权重为负。

使用这些新的权重，则产率为11.1％E = w1E + w2E = -0.3 * 0.15 + 1.3 * 0.12 = 0.111，标准偏差为19.71％。

σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2σ12=（-0.3）2（0.0441）+（1.3）2（0.0289）+ 2（-0.3）（1.3）（0.01785）= 0.3888σP= 0.1971

到目前为止，市场资产之间的协方差很少引起关注，因为它只是作为公式的一部分而不是作为良好多样化的关键因素提及的。协方差和相关性度量资产依存关系并形成多元化的基础，因此需要对此类依存关系度量进行详细的研究。

协方差使用i，j∈{1,2，…，N}，令Si和Sj为回报为Ri和Rj的两种资产的价格。资产之间的协方差定义为σij= E）（Rj-E）]，并具有内部产品的特征，但需要指出两个感兴趣的属性：

1.σii=σi22.σij

=σji因此矩阵Σ是对称的。

协方差的符号及其无效性提供了有关资产Si和Sj的依存关系的信息，如下所示：

•σij> 0这意味着，平均而言，当一种资产产生的收益大于或小于平均收益时，另一种资产趋向于相同的模式。换句话说，当Sj升值或贬值时，Si伴随Sj。

•σij<0表示平均而言，当一种资产产生的收益率低于或高于其平均值时，另一种资产往往会在每种情况下都发生反转。

•σij= 0在这种情况下，无法在资产上建立明确的链接。

∑（Rit-E）（Rjt-E）

对于T

观测值，协方差的估计值为σˆij = t = 1，其中Rit是第t天资产i的回报。

相关性。协方差取决于随机变量的大小，因此最好使用标准化的度量。依赖性的这种措施在定义为相关性被发现如下：

σij

ρij=除了-1≤ρij≤1σiσj

为了说明相关性的重要性，请考虑两个资产S1和S2的投资组合，其数据如下：

E = 0.12 E =

0.15σ1

= 0.17⇒σ12= 0.0289σ2 =0.21⇒σ22= 0.0441

投资组合的方差为σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2σ12，从等式σ12=σ1σ2ρ12获得投资组合方差的新公式。

σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2σ1σ2ρ12

如果资产的权重和相关性发生变化，将获得以下图形：

插图6.通过降低相关性，可以在风险水平上获得更好的回报。

可以观察到，随着相关性的降低，可以为风险水平找到更好的回报。因此，投资组合最好具有负相关的资产。

已经提到协方差具有内积的性质，这使相关性成为线性相关性的量度。在公式

σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2σ1σ2ρ12中，可以通过以下转换看到相关性的几何解释。

a =σPb =w1σ1c =w2σ2

因此，使用三角形a，b，c的余弦定律，我们得到等式a2 = b2 + c2-2bccos（θ），由此得出cos（θ）=-ρ12且θ是边之间的夹角b和c。

经济上的解释是，a面是投资组合的波动性，并且这一面随着相关性的增加而增长。当相关为零时，我们有毕达哥拉斯定理a2 = b2 + c2，投资组合的波动性可以看作是三角形的斜边。

应该澄清的是，相关性是线性相关性度量，因此，当资产具有非线性关系时，它具有局限性，如以下示例所示：

令V1〜U（-1,1）和V2 = 1 − V12

可以证明E = 0和E = 0从而σV1V2= 0，并且我们具有具有零协方差的随机变量，但是由于V12 + V22 = 1，它们以非线性方式相关。

投资组合的方差作为权重的函数

通过加入随机支配地位的定义，就需要在给定预期收益水平的前提下，使投资组合达到最低风险。然后，您遇到了一个优化问题，其中目标变量是投资组合的方差，并且您可能有许多限制，例如禁止卖空。解决此优化问题的第一步是研究方差作为资产权重的函数。

投资组合的方差为ij，其形式为

i = 1 i≠j

矩阵为σP2= W /ΣW，其中W是权重的向量，而Σ是方差和协方差的矩阵。

在Σ的输入为常数的假设下，方差是资产权重

σP2= f（w1，w2，…，wN）的函数。

从这一点开始，通过将平均收益和资产权重与辅助矢量一起放入矢量中，就需要进一步的抽象层次。

⎡Ë⎤⎡w1⎤⎡1⎤

⎢E瓦特1

R =⎢⎥W =⎢⎥I =⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣E⎦⎣wN⎦⎣1⎦

根据不同的战略或法律要求，存在不同的优化问题。以下是其中一些。

minσP2= W /ΣW

W / R = EW / I = 1

这个问题试图使在给定的性能水平和重量或重量加重到该单元的限制下的风险最小化。

minσP2= W /ΣW

W / R = EW / I = 1

无线≥0∀i

在这个问题中，禁止卖空时还有其他N个限制，因为众所周知，卖空意味着负重。应当指出的是，马科维茨使卖空组合变得非法。

一个更普遍的问题是，这迫使当局按当局规定的时间间隔合并权重，就像墨西哥使用SIEFORE投资组合的情况一样。

minσP2= W /ΣW

W / R = EW / I = 1

ΔI≤无线≤γi∀i

第一个问题可以通过使用微积分的拉格朗日乘数来解决，而以下问题属于非线性规划领域。

在这两种情况下，研究目标函数和产生约束的集合的特征对于建立有效边界都是必不可少的。

高效的投资组合。

解决了上述优化问题之一后，便确定了有效的投资组合。换句话说，对于给定的绩效水平，已经获得了风险最低的投资组合。

高效的前沿。当针对所有可能的预期收益水平解决了投资组合的任何优化问题时，只要所产生的点具有经济意义，就可以形成有效边界。

为了简化理解更多主题，给出了允许卖空的问题的解决方案。为此，显示了对凸度分析的简要回顾，并将这些思想应用于当前的财务问题。

凸分析

凸性是优化问题中的常见特征。没有无风险资产的有效边界的构建涉及两个优化问题的解决方案，从此类问题的解决方案开始，并借助稍后介绍的两个基金定理，可以获得任何有效投资组合。以下定义和结果构成了构建有效边界的数学依据。

凸集。如果给定x，y∈E⇒αx+（1 −α）y∈E且α∈，则集合E⊆N是凸的。

直观地讲，凸集是其中给定凸点的两个点，连接凸点的段是凸点的子集。

点αx+（1-α）y∈E被称为凸组合，对于n个元素x1，x2，..，xn∈，可以将其概括为α1×1 +α2×2 +，..，+αnxn∈E。

对于n个标量α1，α2，..，αn≥0的E和n，使得∑αi = 1。

i = 1

作为此类集合的示例，我们有三角形，实线和通常的ℜN，但（ℜ+∪{0}）N也是如此。

凸功能。如果对于x，y∈E和α∈有以下不等式，则凸集E中定义的函数f：→n→is是凸的：

f（αx+（1 −α）y）≤αf（x）+（1 −α）f（y）

对于整个集合E中的双微分函数，以下定理表示凸函数的替代定义，对于这些注释所追求的目标，凸函数将是足够的。

定理。设函数f：在凸集上定义的RN→R可双微分。当且仅当它具有定义的半正H（x）Hessian矩阵时，该函数才是凸函数。

示例。投资组合方差函数ij

i = 1 i≠j是凸的。

测试

∂σ2

ĴIJwjσij

∂w≠IJ = 1

∂2σ2

P =2σij

∂wj∂wi

这意味着二次形式σP2= W /ΣW的一阶导数为2ΣW，而二阶导数为2Σ，这是一个非奇异矩阵。

因此，投资组合方差的Hessian是一个正矩阵，是协方差矩阵的两倍，因此可以说投资组合方差是严格的函数

凸的。

⎡σ12

⎢

H = 2 *⎢σ21

⎢

⎢

⎢⎣σn1σ12σ22

σn2σ1n⎤

⎥

σ2n⎥

⎥

⎥

σn2⎥⎦

定理。（唯一性）。给定以下优化问题：

min f（x）

x∈E其中f：ℜn→ℜ是严格凸函数，而集合E是凸函数，那么优化问题最多具有一个最小化器。

示范。

假设a，b∈E是两个不同的解，即f（a）= f（b）≤f（x）∀x∈E，因为f是凸的所以f（αa+（1-α）b） <αf（a）+（1-α）f（b）= f（a）= f（b）！对于α∈（0.1）。

矛盾在于以下事实：点αa+（1-α）b∈E，因此其值将小于最小值。

从这一刻起，目标是创建有效的边界，为此，使用拉格朗日乘数，因为已经知道投资组合的方差具有唯一的最小值。

高效前沿

正如已经证明的那样，投资组合的方差是严格的凸函数，因此，只要约束形成一个凸集，将其最小化就不会找到所找到的解决方案的技术细节。

minσP2= W /ΣW

W / R = EW / I = 1

需要指出的是，最小化σP2等效于最小化

1σP2，因此要解决最后一种情况，

在拉格朗日函数中考虑两个2个标量λ1和λ2。

L（w1，..，wN，λ1，λ2）= W /ΣW+λ1（E −W / R）+λ2（1 − W / I）

二次形式的导数为2ΣW，因此在根据其自变量得出函数L且等于零时，我们具有：

ΣW=λ1R+λ2I

E = W / R 1 = W / I

最后三个方程式中的第一个方程式显示了有效边界的一般形式和重要的两基金定理。

ΣW=λ1R+λ2I⇒W=λ1Σ− 1R +λ2Σ− 1I

从优化问题的解决方案中获得有趣的关系，为方便起见，定义了以下术语：

A = R /Σ-1I

B = R /Σ-1R

C = I /Σ-1I D = BC-A2

如果解乘以左移乘以转置的收益向量和向量I /，则我们得到

R / W =λ1R/Σ-1R +λ2R /Σ-1I I / W =λ1I/Σ-1R +λ2I /Σ-1I

实际上，所获得的是方程组，其解导致对有效边界的几何解释。

Bλ1+Aλ2= E，其中λ1= CE-A和λ2= B-AE。

Aλ1+Cλ2= 1 DD

从左边乘以权重转置为等于ΣW=λ1R+λ2I的向量，我们得到了投资组合方差的恒等式。

W /ΣW=λ1W/ R +λ2W/ I

CE 2-AE B-

AEσP2=λ1E+λ2= PP + P

CE 2 2AE

BσP2= P-P +

DDD

这最后一个等式对应于半方差平面中的抛物线。该函数的最小值通过相对于平均性能的方差导数获得。

g A

2 E =

dσP= 2 CE-A =

0⇒C dE DσPg2= 1

其中，上标g表示它是全局最小方差组合。

将有效边界视为标准偏差-屈服平面中的双曲线，可获得相同的结果。

2 CE 2 2AED DB CD⎜⎜⎛E2 - 2 CA E + CA22⎟⎟⎞⎠+ C1⇔

σP= - +⇔

d⎝

⎛⎜E - A⎞⎟

σP⎝Ç⎠

- = 1

1 d

CC 2

全球最小方差投资组合

抛物线和双曲线的顶点处的投资组合是风险最低的资产的组合，而与期望的收益无关。

该产品组合的性能，方差和标准偏差为：

例如

σPg2

ΣPG

该组合中权重向量将被表示为W GY，并确定这一点，我们必须找到对应于例如拉格朗日乘子，他们是：

1Σ− 1Iλ1g= 0λ2g=⇒Wg =根据解W =λ1Σ− 1R +λ2Σ− 1I。

直流电

两基金定理。可以通过以下方式设置两个有效投资组合的权重向量：从这两个初始投资组合生成任何有效投资组合。这意味着可以通过两个基金来创建有效边界。

W =αWd +（1-α）W g

示范。

有效的投资组合权重采用以下形式

W =λ1Σ− 1R +λ2Σ− 1I

-1 −1用

W d =ΣR和W g =ΣI表示，

中的W =λ1AW d +λ2CWg ，正如已经观察到的λ1A +λ2C= 1。

使α=λ1A⇒1 −α=λ2C可获得期望的结果，因此有效投资组合的任何权重向量都是

其他两个有效投资组合的线性组合。投资组合技术的运用

为了演示该技术，已设计了三项资产的投资组合，并应用了前面几段中开发的技术。

假设一个具有三种风险资产的经济体，其回报和协方差矩阵如下所示：

E = 0.14⎡0.23 0.02-0.10⎤⎡9.71

E = 0.11Σ=⎢⎢0.02 0.15 0.10⎥⎥⇒Σ - 1 =⎢⎢-8.39

E = 0.13⎢⎣ - 0.10 0.10 0.17⎥⎦⎢⎣10.64

- 8.39 10.64⎤

⎥

18.22 -15.65

⎥

-15.65 21.35⎥⎦

的第一步是确定的常数A，B，C和d，然后确定该矢量W d和W克。

A = 8.

− 8.39⎢⎣10.64-8.39

10.64⎤⎡1⎤18.22

−15.65 1 = 3.1584⎥

−15.65 21.35⎥⎦⎢⎣1⎥⎦B

= ⎢⎢−

8.39⎢⎣10.64-8.39 10.64 ⎤0.14⎥18.22

−15.65

0.11 = 0.4829⎥

−

15.65 21.35⎥⎦⎢⎣0.13⎥⎦C

= 8. − 8.39

18.22⎢⎣10.64−15.65 10.64⎤⎡1⎥

−

15.65 1 = 22.4796

⎥⎢⎥

21.35⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

d = BC - A2 = 0.2053

⎡9.71 - 8.39 10.64⎤⎡0.14⎤

⎢⎥⎢⎥ - 8.39 18.22 -15.65 0.11

⎢⎥⎢⎥⎡0.5761⎤

d⎢⎣10.64 - 15.65 21.35⎥⎦⎢⎣0.13⎥W

= =

−0.3816 A⎢⎣0.8055⎥⎦

⎡9.71 - 8.39

⎢

- 8.39 18.22

⎢

克⎢⎣10.64-15.65

W =

观察：

10.64⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥

-15.65 1

⎥⎢⎥⎡0.5321⎤

21.35⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎢⎥

= -0.2591

⎥⎢

⎢⎣0.7270⎥⎦

•W1G + w2g + w3g = 0.5321-0.2591 + 0.7270 = 1

•资产2被卖空和从该操作所得被发送到资产1和3。

与投资组合的预期收益无关的最小收益和最小方差为：

σPg2=⎢⎢0.02

⎢⎣ - 0.10 0.02

0.15

0.10-0.10⎤⎡0.5321⎤

⎥⎢⎥

0.10 -0.2591 0.0445 =

⎥⎢⎥

0.17⎥⎦⎢⎣0.7270⎥⎦

该对（σPg，RPg）=（0.2110，0.1405）是有效边界的第一点。

根据两基金定理，有效边界是根据以下线性组合构建的，如图7所示：

⎡0.5761⎤⎡0.5321⎤

Wα=α⎢ - 0.3816⎥+（1 - α）⎢ - α∈ℜ0.2591⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎣0.8055⎥⎦⎢⎣0.7270⎥⎦

图7.有效边界是波动率-收益率平面中的双曲线。

预期利润和有效的投资组合

为了知道在投资时应考虑哪种有效的前沿投资组合，使用了预期利润的无差异曲线。

一些无差异曲线和有效边界之间的切线点将是个人将随机地主导其他人，并将成为个人的最佳选择。

这就是期望的效用如何允许在有效的投资组合之间进行决策，并且证明本文的第一部分是合理的。在以下段落中，建立资本市场线时会发现相同的过程。

高斯收益的假设允许个人具有不同的效用函数，因此具有有效边界的不同切点。再次，这种情况在均衡模型中非常重要，CAPM会意识到这一点。

插图8.选择与期望利润的无差异曲线相切的投资组合。

纳入无风险资产

到目前为止，只有风险资产被视为股票，但是可以包括无风险资产，例如国库券，银行帐户或Cetes deMéxico。

无风险资产用S0表示，因此现在有N + 1种工具。该无风险资产可提供已知的RL回报。

包含此资产后，就可以知道有效边界是否发生了变化，因为现在您可以创建包含风险资产和无风险资产的投资组合。

通过解决一个新的优化问题就可以解决这个问题。还假设您可以无风险利率借款。

E-RL maxTan（θ）=σP

为了确定具有风险资产和无风险利率的有效边界，我们必须最大化与无风险利率和任何风险资产组合相连的线所形成的角的切线。

∑wi（E-RL）

Tan（θ）= i = 1此表达式是关于wi

∑∑wiwjσiji

= = 1 j 1 得出的

，然后等于零。

Σwi（E - RL）Σwjσij

I = 1 J = 1

= 2 = 0⇒

∂wiσP

Σwi（E - RL）Σwjσij

I = 1 2 J = 1 = E - RL

σP

Σwi（ E-RL）Nξ= i = 1 2⇒∑ξwjσij = E-RL∀iσPj

= 1

如果完成vj =ξwj，则该系统可以表示为容易观察到的解。

σ12⎡σ12

⎢2

⎢σ21σ2

⎢

⎢

⎢⎣σN1σN2

σ1N⎤⎡v1⎡E-

RL⎥⎢⎥⎢⎥⎥σ2N⎥⎢v2⎥=

⎢E-RL⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥2⎥⎢⎥σN⎥⎦⎣vN⎣ E-RL⎦

但是，从该系统的解决方案中获得的值不能视为权重或权重，因此必须对其进行归一化才能获得输入wiM = Nvi⇒N的WM市场投资组合的权重。

∑vi i = 1

i = 1

从这些百分比确定波动率σM和市场E的平均收益，然后与无风险利率一起构建资本市场线（LMC）。LMC的斜率是E-RL，点和

σM

斜率形式的等式是E = RL + E- RLσP 。σM

底定理

资本市场线中的所有投资组合都是根据市场投资组合和无风险资产之间的线性组合构建的。

示范。

通过使用拉格朗日乘法器解决优化问题，可以获得该结果。

minσP2= W /ΣW

S〜.A。〜其中W〜=⎡w0⎤R〜=⎡⎢RL⎥⎤〜I =⎡⎢1⎤⎥

⎢⎥

W / R = E⎣W⎦⎣ř⎦⎣I⎦

W〜/〜我= 1

基于这些向量，获得以下等式：

ΣW=λ1R+λ2I-λ2-λ1RL= 0

应用数学技巧，我们得出CML的每个向量都具有以下形式：

⎡1⎤⎡0⎤

⎢⎥⎢⎥

W〜=α⎢0⎥+（1 - α）⎢w1Mα∈ℜ⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢中号⎥

⎣0⎦⎣wN⎦

图9显示了上述三资产经济的10％无风险利率和有效前沿投资组合的组合。结果就是资本市场线（LMC）。

假设三项资产的经济性数据相同，则将无风险率增加10％，并根据观察结果确定CML。

⎡0.23 0.02-0.10⎤⎡v1⎤

⎢⎥⎢⎥

0.02 0.15 0.10 V2⎥

⎢⎥⎢

⎢⎣ - 0.10 0.10 0.17⎥⎦⎢⎣v3⎥⎦

⎡0.14-0.10⎤⎡v1⎤⎡0.6237⎤

⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥= 0.11-0.10⇒V2⎥=⎢ - 0.6230⎥

⎢⎥⎢

⎢⎣0.13-0.10⎥⎦⎢⎣v3⎥⎦⎢⎣0.9098⎥⎦

可以看出，v1 + v2 + v3 = 0.6237 -0.6230 +0.9098 = 0.9105≠1，因此可以归一化以获得市场投资组合的权重，从而解决问题。

w1M == 0.6850 w2M == -0.6842和w3M == 0.9992。

根据这些权重，获得市场表现

E = 0.14 * 0.6850 +0.11 *（-0.6842）+ 0.13 * 0.9992 = 0.1505，以及波动率σM= 0.2356。资本市场线具有以下等式RP = 0.10 +0。σP。

插图9.无风险资产产生了资本市场线。

5资本资产评估模型（CAPM）

资本资产估值模型（从CAPM开始）旨在根据市场风险来解释资产的性能，其中包括考虑到经济中的投资者根据现代投资组合理论来构成他们的投资组合以及其他假设。有相同的期望。

多元化的局限性。

多元化对于降低投资组合的风险非常有用。但是，从构建以下投资组合时可以看出，这种风险处理机制是有限的：假设一组N个风险资产，使得它们成对地具有假定为正的平均协方差covm，则每个资产的方差为所有人都相同，第i个资产的权重为1 = wi。因此，该投资组合的方差在极限处为

常数。

N⎛1⎞2 2 1 1⎛1⎞2 N 2 2σ2⎛1⎞σN = ∑i = 1⎜⎝Nσ+ 2∑i≠j NN cov m =⎝⎜N⎟⎠∑ I = 1 +σN 2ΣI≠j时病毒M = N +⎜⎝1 - N的⎠⎟病毒M

σ2⎛1⎞

+⎜1 - ⎟病毒M = COV米

ñ⎝ñ⎠

这意味着资产的数量越多，投资组合的方差会减少，但分散性会受到限制，因此无论风险资产组合中的资产数量如何，总会有风险。该观察结果引起以下风险定义：

可分散的风险。

它是一种可能会因多样化而消除的功能，它来自于站点的特定特性。重要的是要注意，市场投资组合具有最大程度的多样化，因此剩余的风险会引起系统性风险。

系统性风险。

这是多样化无法消除的一种，因为它源自影响整个经济的因素，例如政治变化。

图10.可分散风险和系统风险。

则工具的总或特定风险等于可分散风险加系统风险的总和。

总风险=可分散风险+系统风险。

在经济体中，投资者利用多元化来形成自己的投资组合，金融资产只需要为系统性风险支付差额，因为多元化已被推到了极限。

CAPM通过线性关系将金融资产系统风险的溢价与市场投资组合的溢价联系起来。套利定价理论中对此模型进行了概括。在以下各段中，除了对通货膨胀，税收，消费和单一指数模型（MIU）进行处理之外，还显示了CAPM的两个派生，作为构建有效边界的替代方法。

CAPM假设

•投资者基于具有正态分布收益的半方差标准进行决策。

•投资者的时间跨度相同。

•投资者对资产收益的期望相同，这意味着他们看到了相同的有效前沿。

•市场高效。

•有一种无风险工具，投资者可以按此利率借入和借入无限量的款项。•市场完美

为了获得CAPM的扩展，可以削弱其中的一些假设，但是在所有这些假设中，提到资产收益期望值的均一性的假设是基本的，因为它可以提高市场组合的效率。

CAPM的派生

考虑资本市场中的M个参与者。设Xi为第i个投资者的初始财富，i = 1,2，…，M。

当一些满足的供求相等时，达到经济平衡。CAPM是一种平衡模型，因为它考虑了这种情况。在此模型中，需求是属于M个投资者的所有投资组合的加权总和，而在市场投资组合中可以看到供应。

需求

令Wi是第i个投资者

M 的投资组合的权重向量，则W〜D = X1 ∑i = 1 X iW〜i是

X = ∑ X i 的总需求M 的权重向量。

I = 1

基于基金定理，我们有的矢量

中号⎡1⎡中号⎡0⎤

总需求是W〜d = I = 1

X 0

⎢⎥+ 1 = 1

⎢⎥

⎢⎥

⎣ 0⎦

X瓦特

⎢1⎥。

⎥⎢

⎢中号⎥

⎣wN⎦

MMM

ΣXiαi⎢⎥Σ（1 -的αi）X I⎢中号⎥

ΣXiαiΣ（1 -的αi）X IΣXiαi

而且I = 1 + 1 = 1 =因此，当αD= i = 1时为1，则有

XXX

表示总需求权重的向量属于CML。

对于WD向量，以下等式用于获得第一个拉格朗日乘数的值。

ΣWD =λ1R+

λ2I −λ2-λ1RL= 0ΣWD

=λ1（R-RL I）

WD /ΣWD =λ1（E-RL）

ΣWDR-RL I

D / D

WΣWE-RL

提供

总供应量由WM市场组合给出。

均衡

当WM = WD时获得平衡，因此整个经济的CAPM是从相等性获得的。

ΣWMR - RI

WD = WM⇒M / M = L

w ^ΣWë - RL⎡β1⎤⎡RL⎤⎡Ë⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥βRE

⇔⎢2⎥（E - RL）+⎢大号⎥=⎢ 2⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣βN⎦⎣RL⎦⎣E⎦

向量ΣWD的第i个输入是收益率Ri与市场收益率RM之间的协方差，而βi= cov（Ri2，RM）。

σM

测试版和应用

资产的beta是系统性的风险度量，有助于显示对股票市场风险的敏感性。

如果资产的beta大于1，则该资产的平均收益将显示出相对于市场投资组合成比例的增加或减少。

当资产的贝塔值小于1时，资产的回报率将与市场投资组合的表现成比例。

如果资产的单位为beta，则资产的回报平均将以与市场投资组合相同的比例移动。

估算beta要求市场组合的表现。后者无法准确确定，但是有一些代理变量可以对其进行仿真。所述代理变量是诸如美国的S&P 500之类的股票指数，在墨西哥，有墨西哥证券交易所的价格和报价指数，其中包括一组每年约35股被批准或替换的股票，权重实时变化。

一旦对市场投资组合进行了近似，就可以根据其定义或通过线性回归确定beta，在该线性回归中，资产的绩效被线性依赖于市场投资组合的绩效。。

CAPM查找现实生活中的应用程序，以确定公司的资本成本。WACC（加权平均资本成本）是权益成本和金融债务资本成本的加权平均值。

来自

WACC = Kd + Ke d + ed + e其中

Kd是金融债务的资本成本Ke是自有资本成本

d是金融债务

的市场价值e是企业权益的市场价值

特别是，贝塔系数用于估算自有资本Ke的成本，在墨西哥的情况下，其采用以下形式：

Ke = RL +β（E-RL）* RVA + Rsm + RP

哪里

RL是30年期国库券支付率β是相对于S&P 500指数确定的

E是S&P 500 的平均回报

RVA是针对美国境外投资的调整

Rsm是要考虑的溢价由于

RP 公司的规模，这是墨西哥Eurobonds的国家风险

CAPM是一个模型，它对它使用的非常严格的假设进行了扩展和批评，因为从自有资本成本中可以看出，必须对理论CAPM进行调整。但是，该模型仍然有效。

附录

正态分布

如果密度函数具有以下形式，则称随机变量X分别服从位置和比例参数µ和σ的正态分布。

（μ）2

-∞<μ<∞σ> 0

当X具有正态分布及其各自的参数时，表示为X〜N（µ，σ）。

如果执行变换Z = X -µ，则可以得出Z〜N（0.1），并且Z被

称为标准法线。如果我们有Z，则变换X =σZ+ µ会导致原始法线X。

为了方便起见，然后使用变量Z得出任何正常变量X的结果。

定理。设Z〜N（0,1）。因此，此变量的所有时刻都是有限的。

PD E <∞∀n∈N

示范。

z22

E -z -ne-2 dz ze dz

如果改变变量y =，则获得以下表达式

，其中Γ表示范围函数。

ン

E = 22∞∫和n2-1e - YDY =2π2Γ⎜⎛⎝N2 +1⎞⎟⎠<∞

π0

结果1.如果n为奇数，则E = 0。

E ze dz = 0

这是因为f（z）= zne-2是奇函数。

结果2.如果n是偶数，那么E =1⋅3⋅5⋅…⋅（N-1）

N 2

E =-∫∞zeye - YDY =2π2Γ⎛⎜⎝n2+1⎞⎟⎠

2π

通过对

k∈N进行归纳，使得n = 2k，证明2 kΓ⎛⎜k + 1⎞⎟= 1⋅3⋅5⋅…⋅（2k-1）π⎝2⎠

一旦获得了标准法线的结果，就可以找到其他任何法线的结果。

令mn = E和X〜N（µ，σ）。

如果我们记得Z = X -µ，则mn = E =E⎡⎢（X -nµ）n⎥⎤。σmσm

m3和m4的值很重要，因为它们会导致任何法线的偏差和峰度值。

特殊情况n = 3

对于结果1立方米= 0 =E⎡⎢（X-3μ）3⎤⎥⇒K3 = E = 0，并因此

⎣σ⎦σ

有另一个结果是：

结果3.任何正常随机变量的偏差k3为零。

特殊情况n = 4

由结果2 M4 =3⋅1=E⎡⎢（X-4μ）4⎤⎥⇒K4 = E = 3，这导致

⎣σ⎦σ

在金融时间序列的研究的另一个重要结果。

结果4.任何正常随机变量的峰度等于3。

根据等式X =σZ+ µ，我们有基于牛顿二项式的X n =（σZ+ µ）ny

（σZ+μ）n = ∑j = n0 Cnjσn− j Z n− jµ j其中C nj =（n −n！j）！j！

然后，我们得到以下结果：

结果5.正常随机变量的n阶矩是平均值μ和标准偏差σ的函数。换句话说，大于任何正常随机变量中第二个矩的矩仅取决于前两个矩。

PD E = f（µ，σ）

演示

如果以表达式n−j Z n−jµj

j = 0 为希望，

则表达式的线性度将提供所需的结果。

E（n− jmn− jµ）= f（µ，σ）j

= 0 j = 0

当结合通常分布的效用和收益函数思想时，第五个结果至关重要。

市场

完美的市场

如果满足以下条件，则资本市场是完美的：

•市场没有摩擦；也就是说，没有交易成本或税收，所有资产都是完全可分割且可流动的，并且没有法律限制。

•商品和股票市场之间存在完美的竞争。

•所有个人都可以接收信息并且是免费的

•个人是理性的，他们正在寻求最大程度地发挥其预期效用。

高效市场

高效的资本市场允许资产转移而损失的财富却很少，这就是为什么将其纳入帕累托意义上的效率概念的原因。当市场中商品化的金融资产的价格反映所有可用的信息，因此是公平价格时，该市场就是这种类型。

效率有三种形式：

1.效率低下。在这种情况下，任何人都无法通过基于历史价格信息的投资策略来获利。换句话说，价格打折了过去的信息。

2.半强效率。以这种效率形式，没有任何投资者能够通过根据公开信息生成的规则获得超额收益，因此，据说价格会打折该公开信息。

3.强大的效率形式。在这种效率下，任何人都无法获得高于市场的任何信息回报。因此价格反映了所有信息。

参考资料

谷轮和韦斯顿。（1988）。财务理论与公司政策。艾迪生·韦斯利·埃尔顿（Addison Wesley Elton），埃德温·J（Edwin J.），格鲁伯·马丁（Gruber Martin J.）（1995）。现代投资组合理论与投资分析。John Wiley&Sons。Heyman，蒂莫西。（1998）。全球化投资。IMEF，Milenio，IMCP，ITAM和BMV。

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